Vector propio generalizado


En álgebra lineal , un vector propio generalizado de una matriz es un vector que satisface ciertos criterios que son más relajados que los de un vector propio (ordinario) . [1]

Sea un espacio vectorial -dimensional ; sea ​​un mapa lineal en L ( V ) , el conjunto de todos los mapas lineales desde dentro de sí mismo; y sea la representación matricial de con respecto a alguna base ordenada .

Es posible que no siempre exista un conjunto completo de vectores propios linealmente independientes que formen una base completa para . Es decir, la matriz puede no ser diagonalizable . [2] [3] Esto sucede cuando la multiplicidad algebraica de al menos un valor propio es mayor que su multiplicidad geométrica (la nulidad de la matriz , o la dimensión de su espacio nulo ). En este caso, se llama valor propio defectuoso y se llama matriz defectuosa . [4]

Un vector propio generalizado correspondiente a , junto con la matriz genera una cadena de Jordan de vectores propios generalizados linealmente independientes que forman una base para un subespacio invariante de . [5] [6] [7]

Usando vectores propios generalizados, un conjunto de vectores propios linealmente independientes de puede extenderse, si es necesario, a una base completa para . [8] Esta base se puede usar para determinar una "matriz casi diagonal" en la forma normal de Jordan , similar a , que es útil para calcular ciertas funciones matriciales de . [9] La matriz también es útil para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales lineales donde no es necesario que sea diagonalizable. [10] [11]


Un ejemplo de una matriz en forma normal de Jordan. Los bloques grises se llaman bloques Jordan.