Vector propio generalizado

En álgebra lineal , un vector propio generalizado de una matriz es un vector que satisface ciertos criterios que son más relajados que los de un vector propio (ordinario) . ^[1]${\ estilo de visualización n \ veces n}$ ${\ estilo de visualización A}$

Sea un espacio vectorial -dimensional ; sea ​​un mapa lineal en L ( V ) , el conjunto de todos los mapas lineales desde dentro de sí mismo; y sea la representación matricial de con respecto a alguna base ordenada .${\ estilo de visualización V}$${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización \ phi}$${\ estilo de visualización V}$${\ estilo de visualización A}$${\ estilo de visualización \ phi}$

Es posible que no siempre exista un conjunto completo de vectores propios linealmente independientes que formen una base completa para . Es decir, la matriz puede no ser diagonalizable . ^{[2] [3]} Esto sucede cuando la multiplicidad algebraica de al menos un valor propio es mayor que su multiplicidad geométrica (la nulidad de la matriz , o la dimensión de su espacio nulo ). En este caso, se llama valor propio defectuoso y se llama matriz defectuosa . ^[4]${\ estilo de visualización n}$ ${\ estilo de visualización A}$${\ estilo de visualización V}$${\ estilo de visualización A}$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {i}}$${\ estilo de visualización (A-\ lambda _ {i} I)}$${\ estilo de visualización \ lambda _ {i}}$${\ estilo de visualización A}$

Un vector propio generalizado correspondiente a , junto con la matriz genera una cadena de Jordan de vectores propios generalizados linealmente independientes que forman una base para un subespacio invariante de . ^{[5] [6] [7]}${\ estilo de visualización x_ {i}}$${\ estilo de visualización \ lambda _ {i}}$${\ estilo de visualización (A-\ lambda _ {i} I)}$${\ estilo de visualización V}$

Usando vectores propios generalizados, un conjunto de vectores propios linealmente independientes de puede extenderse, si es necesario, a una base completa para . ^[8] Esta base se puede usar para determinar una "matriz casi diagonal" en la forma normal de Jordan , similar a , que es útil para calcular ciertas funciones matriciales de . ^[9] La matriz también es útil para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales lineales donde no es necesario que sea diagonalizable. ^{[10] [11]}${\ estilo de visualización A}$${\ estilo de visualización V}$${\ estilo de visualización J}$${\ estilo de visualización A}$${\ estilo de visualización A}$${\ estilo de visualización J}$ ${\displaystyle \mathbf {x} '=A\mathbf {x} ,}$${\ estilo de visualización A}$