En álgebra lineal , una matriz defectuosa es una matriz cuadrada que no tiene una base completa de vectores propios y, por lo tanto, no es diagonalizable . En particular, una matriz n × n es defectuosa si y solo si no tiene n vectores propios linealmente independientes . [1] Se forma una base completa aumentando los autovectores con autovectores generalizados , que son necesarios para resolver sistemas defectuosos de ecuaciones diferenciales ordinarias y otros problemas.
Una matriz defectuosa n × n siempre tiene menos de n valores propios distintos , ya que los valores propios distintos siempre tienen vectores propios linealmente independientes. En particular, una matriz defectuosa tiene uno o más autovalores λ con multiplicidad algebraica m > 1 (es decir, son raíces múltiples del polinomio característico ), pero menos de m autovectores linealmente independientes asociados con λ . Si la multiplicidad algebraica de λ excede su multiplicidad geométrica(es decir, el número de autovectores linealmente independientes asociados con λ ), entonces se dice que λ es un autovalor defectuoso . [1] Sin embargo, todo valor propio con multiplicidad algebraica m siempre tiene m vectores propios generalizados linealmente independientes.
Una matriz hermitiana (o el caso especial de una matriz simétrica real ) o una matriz unitaria nunca está defectuosa; más generalmente, una matriz normal (que incluye hermitiana y unitaria como casos especiales) nunca es defectuosa.
Cualquier bloque de Jordan no trivial de tamaño 2 × 2 o mayor (es decir, que no sea completamente diagonal) está defectuoso. (Una matriz diagonal es un caso especial de la forma normal de Jordan y no está defectuosa). Por ejemplo, el bloque de Jordan n × n
De hecho, cualquier matriz defectuosa tiene una forma normal de Jordan no trivial , que es lo más parecido a la diagonalización de dicha matriz.