En teoría y estadística de probabilidad , la distribución gaussiana inversa generalizada ( GIG ) es una familia de tres parámetros de distribuciones de probabilidad continuas con función de densidad de probabilidad
Función de densidad de probabilidad ![]() | |||
Parámetros | a > 0, b > 0, p real | ||
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Apoyo | x > 0 | ||
Significar | | ||
Modo | |||
Diferencia | |||
MGF | |||
CF |
donde K p es una función de Bessel modificada del segundo tipo, a > 0, b > 0 yp un parámetro real. Se utiliza ampliamente en geoestadística , lingüística estadística, finanzas, etc. Esta distribución fue propuesta por primera vez por Étienne Halphen . [1] [2] [3] Fue redescubierto y popularizado por Ole Barndorff-Nielsen , quien lo llamó la distribución gaussiana inversa generalizada. Sus propiedades estadísticas se discuten en las notas de la conferencia de Bent Jørgensen. [4]
Propiedades
Parametrización alternativa
Configurando y , podemos expresar alternativamente la distribución GIG como
dónde es el parámetro de concentración mientras es el parámetro de escala.
Suma
Barndorff-Nielsen y Halgreen demostraron que la distribución GIG es infinitamente divisible . [5]
Entropía
La entropía de la distribución gaussiana inversa generalizada se da como [ cita requerida ]
dónde es una derivada de la función de Bessel modificada del segundo tipo con respecto al orden evaluado en
Distribuciones relacionadas
Casos especiales
Las distribuciones inversa gaussiana y gamma son casos especiales de la distribución inversa gaussiana generalizada para p = −1/2 y b = 0, respectivamente. [6] Específicamente, una distribución gaussiana inversa de la forma
es un GIG con , , y . Una distribución gamma de la forma
es un GIG con , , y .
Otros casos especiales incluyen la distribución gamma inversa , para a = 0. [6]
Previo conjugado para gaussiano
La distribución GIG se conjuga con la distribución normal cuando sirve como distribución de mezcla en una mezcla normal de varianza-media . [7] [8] Sea la distribución anterior para alguna variable oculta, digamos, sé GIG:
y deja que haya puntos de datos observados, , con función de verosimilitud normal, condicionada a
dónde es la distribución normal, con media y varianza . Entonces el posterior para, dado que los datos también son GIG:
dónde . [nota 1]
Distribución Sichel
La distribución de Sichel [9] [10] resulta cuando el GIG se utiliza como distribución de mezcla para el parámetro de Poisson.
Notas
- ^ Debido a la conjugación, estos detalles se pueden derivar sin resolver integrales, notando que
- .
Referencias
- ^ Seshadri, V. (1997). "Leyes de Halphen". En Kotz, S .; Leer, CB; Banks, DL (eds.). Enciclopedia de Ciencias Estadísticas, Volumen de actualización 1 . Nueva York: Wiley. págs. 302-306.
- ^ Perreault, L .; Bobée, B .; Rasmussen, PF (1999). "Sistema de distribución de Halphen. I: propiedades matemáticas y estadísticas". Revista de Ingeniería Hidrológica . 4 (3): 189. doi : 10.1061 / (ASCE) 1084-0699 (1999) 4: 3 (189) .
- ↑ Étienne Halphen era nieto del matemático Georges Henri Halphen .
- ^ Jørgensen, Bent (1982). Propiedades estadísticas de la distribución gaussiana inversa generalizada . Notas de conferencias en estadística. 9 . Nueva York – Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90665-7. Señor 0648107 .
- ^ O. Barndorff-Nielsen y Christian Halgreen, Divisibilidad infinita de las distribuciones gaussianas inversas hiperbólicas y generalizadas, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 1977
- ^ a b Johnson, Norman L .; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994), Distribuciones univariadas continuas. Vol. 1 , Serie Wiley en Probabilidad y Estadística Matemática: Probabilidad y Estadística Aplicadas (2ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , págs. 284–285, ISBN 978-0-471-58495-7, Señor 1299979
- ^ Dimitris Karlis, "Un algoritmo de tipo EM para la estimación de máxima verosimilitud de la distribución gaussiana normal-inversa", Estadísticas y cartas de probabilidad 57 (2002) 43-52.
- ^ Barndorf-Nielsen, OE, 1997. Distribuciones gaussianas inversas normales y modelado de volatilidad estocástica . Scand. J. Statist. 24, 1-13.
- ^ Sichel, Herbert S, 1975. "Sobre una ley de distribución de frecuencias de palabras". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística 70.351a: 542-547.
- ^ Stein, Gillian Z., Walter Zucchini y June M. Juritz, 1987. "Estimación de parámetros para la distribución de Sichel y su extensión multivariante". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística 82.399: 938-944.
Ver también
- Distribución gaussiana inversa
- Distribución gamma