En la teoría de la probabilidad , una distribución de probabilidad es infinitamente divisible si se puede expresar como la distribución de probabilidad de la suma de un número arbitrario de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid) . La función característica de cualquier distribución infinitamente divisible se denomina función característica infinitamente divisible . [1]
Más rigurosamente, la distribución de probabilidad F es infinitamente divisible si, para cada entero positivo n , existen n iid variables aleatorias X n 1 , ..., X nn cuya suma S n = X n 1 +… + X nn tiene la misma distribución F .
El concepto de divisibilidad infinita de distribuciones de probabilidad fue introducido en 1929 por Bruno de Finetti . Este tipo de descomposición de una distribución se utiliza en probabilidad y estadística para encontrar familias de distribuciones de probabilidad que podrían ser opciones naturales para ciertos modelos o aplicaciones. Las distribuciones infinitamente divisibles juegan un papel importante en la teoría de la probabilidad en el contexto de los teoremas de límites. [1]
Ejemplos de
Ejemplos de distribuciones continuas que son infinitamente divisibles son la distribución normal , la distribución de Cauchy y todos los demás miembros de la familia de distribución estable , así como la distribución Gamma y la distribución t de Student .
Entre las distribuciones discretas, ejemplos son la distribución de Poisson y la distribución binomial negativa (y por lo tanto también la distribución geométrica ). La distribución de un punto cuyo único resultado posible es 0 también es (trivialmente) infinitamente divisible.
La distribución uniforme y la distribución binomial no son infinitamente divisibles, ni ninguna otra distribución con soporte acotado (≈ dominio de tamaño finito ), aparte de la distribución de un punto mencionada anteriormente. [2] La distribución del recíproco de una variable aleatoria que tiene una distribución t de Student tampoco es infinitamente divisible. [3]
Cualquier distribución de Poisson compuesta es infinitamente divisible; esto se sigue inmediatamente de la definición.
Teorema del límite
Las distribuciones infinitamente divisibles aparecen en una amplia generalización del teorema del límite central : el límite como n → + ∞ de la suma S n = X n 1 +… + X nn de variables aleatorias independientes uniformemente asintóticamente despreciables (uan) dentro de una matriz triangular
enfoques - en el sentido débil - una distribución infinitamente divisible. La condición uniformemente asintóticamente despreciable (uan) viene dada por
Así, por ejemplo, si la condición de despreciabilidad asintótica uniforme (uan) se satisface mediante un escalado apropiado de variables aleatorias distribuidas de manera idéntica con varianza finita , la convergencia débil es a la distribución normal en la versión clásica del teorema del límite central. De manera más general, si la condición uan se satisface mediante un escalado de variables aleatorias distribuidas de manera idéntica (con un segundo momento no necesariamente finito), entonces la convergencia débil es hacia una distribución estable . Por otro lado, para una matriz triangular de variables aleatorias de Bernoulli independientes (sin escala) donde la condición uan se satisface mediante
la convergencia débil de la suma es a la distribución de Poisson con media λ como lo muestra la conocida prueba de la ley de los números pequeños .
Proceso Lévy
Toda distribución de probabilidad infinitamente divisible corresponde de forma natural a un proceso de Lévy . Un proceso de Lévy es un proceso estocástico { L t : t ≥ 0} con incrementos independientes estacionarios , donde estacionario significa que para s < t , la distribución de probabilidad de L t - L s depende solo de t - s y donde incrementos independientes significa que esa diferencia L t - L s es independiente de la diferencia correspondiente en cualquier intervalo que no se superponga con [ s , t ], y de manera similar para cualquier número finito de intervalos mutuamente no superpuestos.
Si { L t : t ≥ 0} es un proceso de Lévy, entonces, para cualquier t ≥ 0, la variable aleatoria L t será infinitamente divisible: para cualquier n , podemos elegir ( X n 1 , X n 2 ,…, X nn ) = ( L t / n - L 0 , L 2 t / n - L t / n ,…, L t - L ( n −1) t / n ). De manera similar, L t - L s es infinitamente divisible para cualquier s < t .
Por otro lado, si F es una distribución infinitamente divisible, podemos construir un proceso de Lévy { L t : t ≥ 0} a partir de ella. Para cualquier intervalo [ s , t ] donde t - s > 0 es igual a un número racional p / q , podemos definir que L t - L s tenga la misma distribución que X q 1 + X q 2 +… + X qp . Los valores irracionales de t - s > 0 se manejan mediante un argumento de continuidad.
Proceso aditivo
Un proceso aditivo (un cadlag , proceso estocástico de probabilidad continuo con incrementos independientes ) tiene una distribución infinitamente divisible para cualquier. Dejar sea su familia de distribución infinitamente divisible.
satisface una serie de condiciones de continuidad y monotonicidad. Además, si una familia de distribución infinitamente divisible satisface las mismas condiciones de continuidad y monotonicidad existe (únicamente en la ley) un proceso aditivo con esta distribución . [4]
Ver también
- Teorema de Cramér
- Distribución indecomponible
- Distribución de Poisson compuesta
Notas al pie
- ^ a b Lukacs, E. (1970) Funciones características , Griffin, Londres. pag. 107
- ^ Sato, Ken-iti (1999). Procesos Lévy y Distribuciones Infinitamente Divisibles . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 31, 148. ISBN 978-0-521-55302-5.
- ^ Johnson, NL; Kotz, S .; Balakrishnan, N. (1995). Distribuciones univariadas continuas (2ª ed.). Wiley. volumen 2, capítulo 28, página 368. ISBN 0-471-58494-0.
- ^ Sato, Ken-Ito (1999). Procesos de Lévy y distribuciones infinitamente divisibles . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 31–68. ISBN 9780521553025.
Referencias
- Domínguez-Molina, JA; Rocha-Arteaga, A. (2007) "Sobre la divisibilidad infinita de algunas distribuciones simétricas sesgadas". Estadísticas y letras de probabilidad , 77 (6), 644–648 doi : 10.1016 / j.spl.2006.09.014
- Steutel, FW (1979), "Divisibilidad infinita en teoría y práctica" (con discusión), Scandinavian Journal of Statistics. 6, 57–64.
- Steutel, FW y Van Harn, K. (2003), Divisibilidad infinita de distribuciones de probabilidad en la línea real (Marcel Dekker).