Grupo simétrico generalizado

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En matemáticas , el grupo simétrico generalizado es el producto de la corona del grupo cíclico de orden my el grupo simétrico de orden n .${\ Displaystyle S (m, n): = Z_ {m} \ wr S_ {n}}$

Hay una representación natural de los elementos de como matrices de permutación generalizadas , donde los elementos no nulos son m -ésimo raíces de la unidad :${\ Displaystyle S (m, n)}$${\ Displaystyle Z_ {m} \ cong \ mu _ {m}.}$

La teoría de la representación se ha estudiado desde ( Osima 1954 ); véanse las referencias en ( Can 1996 ). Al igual que con el grupo simétrico, las representaciones se pueden construir en términos de módulos de Specht ; ver ( Can 1996 ).

La primera homología grupo grupo (concretamente, el abelianization ) es (para m impar esto es isomorfo a ): los factores (que son todos conjugado, por lo tanto, debe asignar de forma idéntica en un grupo abeliano, ya que la conjugación es trivial en un grupo abeliano) puede ser asignados a (concretamente, tomando el producto de todos los valores), mientras que el mapa de signos en el grupo simétrico da como resultado. Estos son independientes y generan el grupo, de ahí la abelianización.${\ Displaystyle Z_ {m} \ times Z_ {2}}$${\ Displaystyle Z_ {2m}}$${\ Displaystyle Z_ {m}}$${\ Displaystyle Z_ {m}}$${\ Displaystyle Z_ {m}}$${\ Displaystyle Z_ {2}.}$

El segundo grupo de homología (en términos clásicos, el multiplicador de Schur ) viene dado por ( Davies & Morris 1974 ):

Tenga en cuenta que depende de ny de la paridad de m: y cuáles son los multiplicadores de Schur del grupo simétrico y del grupo simétrico con signo.${\ Displaystyle H_ {2} (S (2k + 1, n)) \ approx H_ {2} (S (1, n))}$${\ Displaystyle H_ {2} (S (2k + 2, n)) \ approx H_ {2} (S (2, n)),}$

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