En matemáticas (más específicamente, en álgebra homológica ), la cohomología de grupo es un conjunto de herramientas matemáticas que se utilizan para estudiar grupos utilizando la teoría de la cohomología , una técnica de topología algebraica . De manera análoga a las representaciones de grupo , la cohomología de grupo analiza las acciones de grupo de un grupo G en un módulo G asociado M para dilucidar las propiedades del grupo. Al tratar el módulo G como una especie de espacio topológico con elementos derepresentando n - simples , se pueden calcular las propiedades topológicas del espacio, como el conjunto de grupos de cohomología. Los grupos de cohomología, a su vez, proporcionan información sobre la estructura del grupo G y el módulo G M mismos. La cohomología grupal juega un papel en la investigación de puntos fijos de una acción grupal en un módulo o espacio y el módulo o espacio cociente con respecto a una acción grupal. La cohomología de grupos se utiliza en los campos del álgebra abstracta , álgebra homológica , topología algebraica y teoría de números algebraicos , así como en aplicaciones a la teoría de grupos propiamente dicha. Como en la topología algebraica, existe una teoría dual llamada homología de grupo . Las técnicas de cohomology grupo también se pueden extender al caso de que en lugar de una G -módulo, G actúa sobre un nonabelian G -Grupo; en efecto, una generalización de un módulo a coeficientes no abelianos .
Estas ideas algebraicas están estrechamente relacionadas con las ideas topológicas. La cohomología de grupo de un grupo discreto G es la cohomología singular de un espacio adecuado que tiene a G como su grupo fundamental , es decir, el correspondiente espacio de Eilenberg-MacLane . Así, la cohomología grupal depuede pensarse como la cohomología singular del círculo S 1 , y de manera similar para y
Se sabe mucho sobre la cohomología de grupos, incluidas las interpretaciones de la cohomología de baja dimensión, la funcionalidad y cómo cambiar de grupo. El tema de la cohomología de grupo se inició en la década de 1920, maduró a finales de la de 1940 y continúa siendo un área de investigación activa en la actualidad.
Motivación
Un paradigma general en la teoría de grupos es que un grupo G debe estudiarse a través de sus representaciones grupales . Una ligera generalización de esas representaciones son el G -modules : a G -módulo es un grupo abeliano M junto con una acción de grupo de G en M , con todos los elementos de G que actúa como un automorfismo de M . Escribiremos G multiplicativamente y M aditivamente.
Dado un módulo G de este tipo M , es natural considerar el submódulo de elementos invariantes G :
Ahora bien, si N es un submódulo G de M (es decir, un subgrupo de M mapeado a sí mismo por la acción de G ), en general no es cierto que las invariantes ense encuentran como el cociente de las invariantes en M por las de N : siendo invariante 'módulo N ' es más amplio. El propósito de la cohomología de primer grupo. es medir precisamente esta diferencia.
Los functores de cohomología del grupo en general, mide hasta qué punto la toma de invariantes no respeta secuencias exactas . Esto se expresa mediante una secuencia larga y exacta .
Definiciones
La colección de todos los módulos G es una categoría (los morfismos son homomorfismos de grupo f con la propiedadpara todos g en G y x en M ). Envío de cada módulo M al grupo de invariantesproduce un funtor de la categoría de módulos G a la categoría Ab de grupos abelianos. Este functor se deja exacto pero no necesariamente exacto a la derecha. Por lo tanto, podemos formar sus functores derivados correctos . [a] Sus valores son grupos abelianos y se denotan por, "el n -ésimo grupo de cohomología de G con coeficientes en M ". Además, el grupo puede identificarse con .
Complejos de cochain
La definición que usa functores derivados es conceptualmente muy clara, pero para aplicaciones concretas, los siguientes cálculos, que algunos autores también usan como definición, a menudo son útiles. [1] Para, dejar ser el grupo de todas las funciones dea M (aquí medio ). Este es un grupo abeliano; sus elementos se denominan n- cadenas (no homogéneas) . Los homomorfismos co-limítrofes
Uno puede comprobar que por lo que esto define un complejo cocadena cuya cohomología se puede calcular. Se puede demostrar que la definición antes mencionada de cohomología de grupo en términos de functores derivados es isomorfa a la cohomología de este complejo.
Aquí los grupos de n -ciclos y n- límites, respectivamente, se definen como
Los functores Ext ny definición formal de cohomología de grupo
Interpretación de módulos G como módulos sobre el anillo de grupo uno puede notar que
es decir, el subgrupo de G -elementos invariantes en M se identifica con el grupo de homomorfismos de, Que se trata como el trivial G -módulo (cada elemento de G actúa como la identidad) a M .
Por lo tanto, como los functores Ext son los functores derivados de Hom , existe un isomorfismo natural
Estos grupos externos también se pueden calcular mediante una resolución proyectiva de , La ventaja es que dicha resolución un solo depende de G y no en M . Recordamos la definición de Ext más explícitamente para este contexto. Sea F un proyectivo-resolución (por ejemplo, una libre-resolución ) de lo trivial-módulo :
por ejemplo, siempre se puede tomar la resolución de anillos de grupo, con morfismos
Recuerda eso para -módulos N y M , Hom G ( N , M ) es un grupo abeliano que consta de-homomorphisms de N a M . Desdees un funtor contravariante e invierte las flechas, aplicandoa F termwise y soltandoproduce un complejo cochain :
Los grupos de cohomología de G con coeficientes en el módulo M se definen como la cohomología del complejo cocadena anterior:
Esta construcción conduce inicialmente a un operador co-fronterizo que actúa sobre las cadenas "homogéneas". Estos son los elementos de, es decir, funciones que obedecen
El operador co-fronterizo ahora se define naturalmente por, por ejemplo,
La relación con el operador co-fronterizo d que se definió en la sección anterior, y que actúa sobre las cadenas "no homogéneas", se da reparametrizando para que
y así. Por lo tanto
como en la sección anterior.
Homología de grupo
Dually a la construcción de cohomology grupo existe la siguiente definición de homología grupo : dado un G -módulo M , sistema de DM para ser el submódulo generado por elementos de la forma g · m - m , g ∈ G , m ∈ M . Asignar a M sus denominadas coinvariantes , el cociente
es un functor exacto correcto . Sus functores derivados de la izquierda son, por definición, la homología de grupo
El funtor covariante que asigna M G a M es isomorfo al funtor que envía M a dónde está dotado de la trivial G -acción. [b] Por lo tanto, también se obtiene una expresión para la homología de grupo en términos de los functores Tor ,
Tenga en cuenta que la convención de superíndice / subíndice para cohomología / homología concuerda con la convención para invariantes de grupo / coinvariantes, mientras que se denota "co-" conmutadores:
- los superíndices corresponden a la cohomología H * e invariantes X G mientras
- subíndices corresponden a la homología H * y coinvariants X G : = X / G .
Específicamente, el grupos de homología H n ( G , M ) se puede calcular como sigue. Comience con una resolución proyectiva F de lo trivial.-módulo como en la sección anterior. Aplicar el functor covariantea F en términos de término para obtener un complejo de cadena :
Entonces H n ( G , M ) son los grupos de homología de este complejo de cadena,para n ≥ 0.
La homología y cohomología de grupo se pueden tratar de manera uniforme para algunos grupos, especialmente los grupos finitos , en términos de resoluciones completas y los grupos de cohomología Tate .
La homología de grupo de grupos abelianos G con valores en un dominio ideal principal k está estrechamente relacionado con el álgebra exterior . [C]
Grupos de cohomología de baja dimensión
H 1
El primer grupo de cohomología es el cociente de los llamados homomorfismos cruzados , es decir, mapas (de conjuntos) f : G → M que satisface f ( ab ) = f ( a ) + af ( b ) para todo a , b en G , módulo los llamados homomorfismos cruzados principales , es decir, mapas f : G → M dados por f ( a ) = am - m para algunos m ∈ M fijos . Esto se desprende de la definición de cochains anterior.
Si la acción de G en M es trivial, a continuación de lo anterior se reduce a H 1 ( G , M ) = Hom ( G , M ), el grupo de grupo Homomorfismos G → M .
Considere el caso de dónde denota lo no trivial -estructura sobre el grupo de enteros. Luego, los homomorfismos cruzados constituyen todos los mapas. satisfactorio y para algún número entero a . Los principales homomorfismos cruzados satisfacen adicionalmente por eso
H 2
Si M es un módulo G trivial (es decir, la acción de G sobre M es trivial), el segundo grupo de cohomología H 2 ( G , M ) está en correspondencia biunívoca con el conjunto de extensiones centrales de G por M ( hasta una relación de equivalencia natural). De manera más general, si la acción de G sobre M no es trivial, H 2 ( G , M ) clasifica las clases de isomorfismo de todas las extensiones de G por M, en el que la acción de G sobre E (por automorfismos internos ), dota a (la imagen de) M de una estructura de módulo G isomórfica .
En el ejemplo anterior, como la única extensión de por con la acción no trivial dada es el grupo diedro infinito .
Un ejemplo de un segundo grupo de cohomología de grupo es el grupo de Brauer : es la cohomología del grupo de Galois absoluto de un campo k que actúa sobre los elementos invertibles en un cierre separable:
Ejemplos básicos
Cohomología grupal de un grupo cíclico finito
Para el grupo cíclico finito de orden con generador , el elemento en el anillo de grupo asociado tiene un inverso multiplicativo dada por
desde
Esta propiedad se puede utilizar para construir la resolución [2] [3] del trivial-módulo a través del complejo
dando el cálculo de cohomología de grupo para cualquier -módulo . Tenga en cuenta que el mapa de aumento proporciona el módulo trivial su -estructura por
Esta resolución da un cálculo de la cohomología de grupo ya que existe el isomorfismo de los grupos de cohomología
mostrando que aplicando el functor al complejo de arriba (con eliminado ya que esta resolución es un cuasi-isomorfismo ), da el cálculo
por
Por ejemplo, si , el módulo trivial, luego , , y , por eso
Cohomología de grupos libres
Usando una resolución
Dado un conjunto el grupo libre asociado tiene una resolución explícita [4] del módulo trivialque se puede calcular fácilmente. Observe el mapa de aumento
tiene kernel proporcionado por el submódulo gratuito generado por el conjunto , entonces
.
Debido a que este objeto es libre, esto da una resolución
de ahí la cohomología grupal de con coeficientes en se puede calcular aplicando el functor al complejo , donación
esto se debe a que el mapa dual
envía cualquier -morfismo del módulo
al morfismo inducido en componiendo la inclusión. Los únicos mapas que se envían a están -múltiplos del mapa de aumento, dando el primer grupo de cohomología. El segundo se puede encontrar observando los únicos otros mapas
puede ser generado por el -base de envío de mapas por un fijo y enviando para cualquier .
Usando topología
La cohomología grupal de los grupos libres generated by letters can be readily computed by comparing group cohomology with its interpretation in topology. Recall that for every group there is a topological space , called the classifying space of the group, which has the property
In addition, it has the property that its topological cohomology is isomorphic to group cohomology
giving a way to compute some group cohomology groups. Note could be replaced by any local system which is determined by a map
for some abelian group . In the case of for letters, this is represented by a wedge sum of circles [5] which can be showed using the Van-Kampen theorem, giving the group cohomology[6]
Propiedades
In the following, let M be a G-module.
Long exact sequence of cohomology
In practice, one often computes the cohomology groups using the following fact: if
is a short exact sequence of G-modules, then a long exact sequence is induced:
The so-called connecting homomorphisms,
can be described in terms of inhomogeneous cochains as follows.[7] If is represented by an n-cocycle then is represented by where is an n-cochain "lifting" (i.e. is the composition of with the surjective map M → N).
Functoriality
Group cohomology depends contravariantly on the group G, in the following sense: if f : H → G is a group homomorphism, then we have a naturally induced morphism Hn(G, M) → Hn(H, M) (where in the latter, M is treated as an H-module via f). This map is called the restriction map. If the index of H in G is finite, there is also a map in the opposite direction, called transfer map,[8]
In degree 0, it is given by the map
Given a morphism of G-modules M → N, one gets a morphism of cohomology groups in the Hn(G, M) → Hn(G, N).
Products
Similarly to other cohomology theories in topology and geometry, such as singular cohomology or de Rham cohomology, group cohomology enjoys a product structure: there is a natural map called cup product:
for any two G-modules M and N. This yields a graded anti-commutative ring structure on where R is a ring such as or For a finite group G, the even part of this cohomology ring in characteristic p, carries a lot of information about the group the structure of G, for example the Krull dimension of this ring equals the maximal rank of an abelian subgroup .[9]
For example, let G be the group with two elements, under the discrete topology. The real projective space is a classifying space for G. Let the field of two elements. Then
a polynomial k-algebra on a single generator, since this is the cellular cohomology ring of
Künneth formula
If, M = k is a field, then H*(G; k) is a graded k-algebra and the cohomology of a product of groups is related to the ones of the individual groups by a Künneth formula:
For example, if G is an elementary abelian 2-group of rank r, and then the Künneth formula shows that the cohomology of G is a polynomial k-algebra generated by r classes in H1(G; k).,
Homology vs. cohomology
As for other cohomology theories, such as singular cohomology, group cohomology and homology are related to one another by means of a short exact sequence[10]
where A is endowed with the trivial G-action and the term at the left is the first Ext group.
Amalgamated products
Given a group A which is the subgroup of two groups G1 and G2, the homology of the amalgamated product (with integer coefficients) lies in a long exact sequence
The homology of can be computed using this:
This exact sequence can also be applied to show that the homology of the and the special linear group agree for an infinite field k.[11]
Change of group
The Hochschild–Serre spectral sequence relates the cohomology of a normal subgroup N of G and the quotient G/N to the cohomology of the group G (for (pro-)finite groups G). From it, one gets the inflation-restriction exact sequence.
Cohomology of the classifying space
Group cohomology is closely related to topological cohomology theories such as sheaf cohomology, by means of an isomorphism[12]
The expression at the left is a classifying space for . It is an Eilenberg–MacLane space , i.e., a space whose fundamental group is and whose higher homotopy groups vanish).[d] Classifying spaces for and are the 1-sphere S1, infinite real projective space and lens spaces, respectively. In general, can be constructed as the quotient , where is a contractible space on which acts freely. However, does not usually have an easily amenable geometric description.
More generally, one can attach to any -module a local coefficient system on and the above isomorphism generalizes to an isomorphism[13]
Más ejemplos
Semi-direct products of groups
There is a way to compute the semi-direct product of groups using the topology of fibrations and properties of Eilenberg-Maclane spaces. Recall that for a semi-direct product of groups there is an associated short exact sequence of groups
Using the associated Eilenberg-Maclane spaces there is a Serre fibration
which can be put through a Serre spectral sequence. This gives an -page
which gives information about the group cohomology of from the group cohomology groups of . Note this formalism can be applied in a purely group-theoretic manner using the Lyndon–Hochschild–Serre spectral sequence.
Cohomología de grupos finitos
Higher cohomology groups are torsion
The cohomology groups Hn(G, M) of finite groups G are all torsion for all n≥1. Indeed, by Maschke's theorem the category of representations of a finite group is semi-simple over any field of characteristic zero (or more generally, any field whose characteristic does not divide the order of the group), hence, viewing group cohomology as a derived functor in this abelian category, one obtains that it is zero. The other argument is that over a field of characteristic zero, the group algebra of a finite group is a direct sum of matrix algebras (possibly over division algebras which are extensions of the original field), while a matrix algebra is Morita equivalent to its base field and hence has trivial cohomology.
If the order of G is invertible in a G-module M (for example, if M is a -vector space), the transfer map can be used to show that for A typical application of this fact is as follows: the long exact cohomology sequence of the short exact sequence (where all three groups have a trivial G-action)
yields an isomorphism
Tate cohomology
Tate cohomology groups combine both homology and cohomology of a finite group G:
where is induced by the norm map:
Tate cohomology enjoys similar features, such as long exact sequences, product structures. An important application is in class field theory, see class formation.
Tate cohomology of finite cyclic groups, is 2-periodic in the sense that there are isomorphisms
A necessary and sufficient criterion for a d-periodic cohomology is that the only abelian subgroups of G are cyclic.[14] For example, any semi-direct product has this property for coprime integers n and m.
Aplicaciones
Algebraic K-theory and homology of linear groups
Algebraic K-theory is closely related to group cohomology: in Quillen's +-construction of K-theory, K-theory of a ring R is defined as the homotopy groups of a space Here is the infinite general linear group. The space has the same homology as i.e., the group homology of GL(R). In some cases, stability results assert that the sequence of cohomology groups
becomes stationary for large enough n, hence reducing the computation of the cohomology of the infinite general linear group to the one of some . Such results have been established when R is a field[15] or for rings of integers in a number field.[16]
The phenomenon that group homology of a series of groups stabilizes is referred to as homological stability. In addition to the case just mentioned, this applies to various other groups such as symmetric groups or mapping class groups.
Projective representations and group extensions
In quantum mechanics we often have systems with a symmetry group We expect an action of on the Hilbert space by unitary matrices We might expect but the rules of quantum mechanics only require
where is a phase. This projective representation of can also be thought of as a conventional representation of a group extension of by as described by the exact sequence
Requiring associativity
leads to
which we recognise as the statement that i.e. that is a cocycle taking values in We can ask whether we can eliminate the phases by redefining
which changes
This we recognise as shifting by a coboundary The distinct projective representations are therefore classified by Note that if we allow the phases themselves to be acted on by the group (for example, time reversal would complex-conjugate the phase), then the first term in each of the coboundary operations will have a acting on it as in the general definitions of coboundary in the previous sections. For example,
Extensiones
Cohomology of topological groups
Given a topological group G, i.e., a group equipped with a topology such that product and inverse are continuous maps, it is natural to consider continuous G-modules, i.e., requiring that the action
is a continuous map. For such modules, one can again consider the derived functor of . A special case occurring in algebra and number theory is when G is profinite, for example the absolute Galois group of a field. The resulting cohomology is called Galois cohomology.
Non-abelian group cohomology
Using the G-invariants and the 1-cochains, one can construct the zeroth and first group cohomology for a group G with coefficients in a non-abelian group. Specifically, a G-group is a (not necessarily abelian) group A together with an action by G.
The zeroth cohomology of G with coefficients in A is defined to be the subgroup
of elements of A fixed by G.
The first cohomology of G with coefficients in A is defined as 1-cocycles modulo an equivalence relation instead of by 1-coboundaries. The condition for a map to be a 1-cocycle is that and if there is an a in A such that . In general, is not a group when A is non-abelian. It instead has the structure of a pointed set – exactly the same situation arises in the 0th homotopy group, which for a general topological space is not a group but a pointed set. Note that a group is in particular a pointed set, with the identity element as distinguished point.
Using explicit calculations, one still obtains a truncated long exact sequence in cohomology. Specifically, let
be a short exact sequence of G-groups, then there is an exact sequence of pointed sets
Historia y relación con otros campos
The low-dimensional cohomology of a group was classically studied in other guises, well before the notion of group cohomology was formulated in 1943–45. The first theorem of the subject can be identified as Hilbert's Theorem 90 in 1897; this was recast into Emmy Noether's equations in Galois theory (an appearance of cocycles for ). The idea of factor sets for the extension problem for groups (connected with ) arose in the work of Otto Hölder (1893), in Issai Schur's 1904 study of projective representations, in Otto Schreier's 1926 treatment, and in Richard Brauer's 1928 study of simple algebras and the Brauer group. A fuller discussion of this history may be found in (Weibel 1999, pp. 806–811).
In 1941, while studying (which plays a special role in groups), Heinz Hopf discovered what is now called Hopf's integral homology formula (Hopf 1942), which is identical to Schur's formula for the Schur multiplier of a finite, finitely presented group:
where and F is a free group.
Hopf's result led to the independent discovery of group cohomology by several groups in 1943-45: Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane in the United States (Rotman 1995, p. 358); Hopf and Beno Eckmann in Switzerland; and Hans Freudenthal in the Netherlands (Weibel 1999, p. 807). The situation was chaotic because communication between these countries was difficult during World War II.
From a topological point of view, the homology and cohomology of G was first defined as the homology and cohomology of a model for the topological classifying space BG as discussed above. In practice, this meant using topology to produce the chain complexes used in formal algebraic definitions. From a module-theoretic point of view this was integrated into the Cartan–Eilenberg theory of homological algebra in the early 1950s.
The application in algebraic number theory to class field theory provided theorems valid for general Galois extensions (not just abelian extensions). The cohomological part of class field theory was axiomatized as the theory of class formations. In turn, this led to the notion of Galois cohomology and étale cohomology (which builds on it) (Weibel 1999, p. 822). Some refinements in the theory post-1960 have been made, such as continuous cocycles and John Tate's redefinition, but the basic outlines remain the same. This is a large field, and now basic in the theories of algebraic groups.
The analogous theory for Lie algebras, called Lie algebra cohomology, was first developed in the late 1940s, by Claude Chevalley and Eilenberg, and Jean-Louis Koszul (Weibel 1999, p. 810). It is formally similar, using the corresponding definition of invariant for the action of a Lie algebra. It is much applied in representation theory, and is closely connected with the BRST quantization of theoretical physics.
Group cohomology theory also has a direct application in condensed matter physics. Just like group theory being the mathematical foundation of spontaneous symmetry breaking phases, group cohomology theory is the mathematical foundation of a class of quantum states of matter—short-range entangled states with symmetry. Short-range entangled states with symmetry are also known as symmetry-protected topological states.[17][18]
Ver también
- Lyndon–Hochschild–Serre spectral sequence
- N-group (category theory)
- Postnikov tower
Notas
- ^ This uses that the category of G-modules has enough injectives, since it is isomorphic to the category of all modules over the group ring
- ^ Recall that the tensor product is defined whenever N is a right -module and M is a left -module. If N is a left -module, we turn it into a right -module by setting ag = g−1a for every g ∈ G and every a ∈ N. This convention allows to define the tensor product in the case where both M and N are left -modules.
- ^ For example, the two are isomorphic if all primes p such that G has p-torsion are invertible in k. See (Knudson 2001), Theorem A.1.19 for the precise statement.
- ^ For this, G is assumed to be discrete. For general topological groups, .
Referencias
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Works cited
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- Knudson, Kevin P. (2001), Homology of Linear Groups, Progress in Mathematics, 193, Birkhäuser Verlag, Zbl 0997.20045
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- Rotman, Joseph J. (1995), An Introduction to the Theory of Groups, Graduate Texts in Mathematics, 148 (4th ed.), Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-4176-8, ISBN 978-0-387-94285-8, MR 1307623
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Otras lecturas
- Serre, Jean-Pierre (1994), Cohomologie galoisienne, Lecture Notes in Mathematics, 5 (Fifth ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0108758, ISBN 978-3-540-58002-7, MR 1324577
- Shatz, Stephen S. (1972), Profinite groups, arithmetic, and geometry, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, MR 0347778
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