En álgebra , un anillo de matriz genérico es una especie de anillo de matriz universal .
Definición
Denotamos por un anillo de matriz genérico de tamaño n con variables. Se caracteriza por la propiedad universal: dado un anillo conmutativo R y n- por- n matrices sobre R , cualquier mapeose extiende al homomorfismo del anillo (llamado evaluación).
Explícitamente, dado un campo k , es la subálgebra del anillo de matriz generado por n- por- n matrices, dónde son entradas de matriz y conmutan por definición. Por ejemplo, si m = 1 entonceses un anillo polinomial en una variable.
Por ejemplo, un polinomio central es un elemento del anillo.que se mapeará a un elemento central bajo evaluación. (De hecho, está en el anillo invariante ya que es central e invariante. [1] )
Por definición, es un cociente del anillo libre con por el ideal que consiste en todo p que se desvanece idénticamente en todas las matrices n- por- n sobre k .
Perspectiva geométrica
La propiedad universal significa que cualquier homomorfismo de anillo de a un anillo de matriz factores a través de . Esto tiene el siguiente significado geométrico. En geometría algebraica , el anillo polinomiales el anillo de coordenadas del espacio afín, y para dar un punto de es dar un homomorfismo de anillo (evaluación) (ya sea por Hilbert nullstellensatz o por la teoría del esquema ). El anillo libredesempeña el papel del anillo de coordenadas del espacio afín en la geometría algebraica no conmutativa (es decir, no exigimos variables libres para conmutar) y, por lo tanto, un anillo de matriz genérico de tamaño n es el anillo de coordenadas de una variedad afín no conmutativa cuyos puntos son las especificaciones de los anillos de matriz de tamaño n (ver más abajo para una discusión más concreta).
El espectro máximo de un anillo de matriz genérico
Para simplificar, suponga que k es algebraicamente cerrado . Sea A un álgebra sobre k y seadenotar el conjunto de todos los ideales máximos en A tal que. Si A es conmutativa, entonceses el espectro máximo de A yestá vacío para cualquier.
Referencias
- ^ Artin 1999 , Proposición V.15.2.
- Artin, Michael (1999). "Anillos no conmutativos" (PDF) .
- Cohn, Paul M. (2003). Más álgebra y aplicaciones (Ed. Revisada de álgebra, 2ª ed.). Londres: Springer-Verlag . ISBN 1-85233-667-6. Zbl 1006.00001 .