En la geometría diferencial de superficies , un marco Darboux es un marco en movimiento natural construido sobre una superficie. Es el análogo del marco Frenet-Serret aplicado a la geometría de la superficie. Un marco de Darboux existe en cualquier punto no umbilico de una superficie incrustada en el espacio euclidiano . Lleva el nombre del matemático francés Jean Gaston Darboux .
Marco de Darboux de una curva incrustada
Sea S una superficie orientada en el espacio euclidiano tridimensional E 3 . La construcción de marcos Darboux en S primero considera los marcos que se mueven a lo largo de una curva en S , y luego se especializa cuando las curvas se mueven en la dirección de las curvaturas principales .
Definición
En cada punto p de una superficie orientada, se puede adjuntar una unidad de vector normal u ( p ) de una manera única, tan pronto como una orientación ha sido elegido para la normal en cualquier punto fijo particular. Si γ ( s ) es una curva en S , parametrizada por la longitud del arco, entonces el marco de Darboux de γ está definido por
- (la unidad tangente )
- (la unidad normal )
- (la tangente normal )
La triple T , t , u define una base ortonormal de orientación positiva unida a cada punto de la curva: un marco en movimiento natural a lo largo de la curva incrustada.
Curvatura geodésica, curvatura normal y torsión relativa
Tenga en cuenta que un marco de Darboux para una curva no produce un marco de movimiento natural en la superficie, ya que todavía depende de una elección inicial de vector tangente. Para obtener un marco en movimiento en la superficie, primero comparamos el marco de Darboux de γ con su marco de Frenet-Serret. Dejar
- (la unidad tangente , como arriba)
- (el vector normal de Frenet )
- (el vector binormal Frenet ).
Puesto que los vectores tangentes son los mismos en ambos casos, hay un único ángulo α de tal manera que una rotación en el plano de N y B produce el par t y u :
Tomando un diferencial y aplicando las fórmulas de Frenet-Serret se obtiene
dónde:
- κ g es la curvatura geodésica de la curva,
- κ n es la curvatura normal de la curva, y
- τ r es la torsión relativa (también llamada torsión geodésica ) de la curva.
Marco de Darboux en una superficie
Esta sección especializa el caso del marco de Darboux en una curva al caso en el que la curva es una curva principal de la superficie (una línea de curvatura ). En ese caso, dado que las curvas principales están asociadas canónicamente a una superficie en todos los puntos no umbilicos , el marco de Darboux es un marco móvil canónico .
El trihedro
La introducción del trihedro (o trièdre ), una invención de Darboux, permite una simplificación conceptual del problema de los marcos en movimiento en curvas y superficies al tratar las coordenadas del punto en la curva y los vectores del marco de manera uniforme. Un triedro consiste en un punto P en el espacio euclidiano, y tres vectores ortonormales ae 1 , e 2 , y e 3 basado en el punto P . Un trihedro móvil es un trihedro cuyos componentes dependen de uno o más parámetros. Por ejemplo, un trihedro se mueve a lo largo de una curva si el punto P depende de un solo parámetro s , y P ( s ) traza la curva. De manera similar, si P ( s , t ) depende de un par de parámetros, esto traza una superficie.
Un triedro se dice que está adaptado a una superficie si P se encuentra siempre en la superficie y ae 3 es la unidad orientada normal a la superficie en P . En el caso del marco Darboux a lo largo de una curva incrustada, el cuádruple
- ( P ( s ) = γ ( s ), e 1 ( s ) = T ( s ), e 2 ( s ) = t ( s ), e 3 ( s ) = u ( s ))
define un tetraedro adaptado a la superficie en la que está incrustada la curva.
En términos de este trihedro, las ecuaciones estructurales se leen
Cambio de marco
Supongamos que cualquier otro trihedro adaptado
- ( P , e 1 , e 2 , e 3 )
se da para la curva incrustada. Dado que, por definición, P sigue siendo el mismo punto en la curva que para el trihedro de Darboux, ye 3 = u es la unidad normal, este nuevo trihedro se relaciona con el trihedro de Darboux por una rotación de la forma
donde θ = θ ( s ) es una función de s . Tomando un diferencial y aplicando la ecuación de Darboux se obtiene
donde (ω i , ω i j ) son funciones de s , satisfaciendo
Ecuaciones de estructura
El lema de Poincaré , aplicado a cada diferencial doble dd P , dd e i , produce las siguientes ecuaciones de estructura de Cartan . De dd P = 0,
De dd e i = 0,
Estas últimas son las ecuaciones de Gauss-Codazzi para la superficie, expresadas en el lenguaje de las formas diferenciales.
Curvas principales
Considere la segunda forma fundamental de S . Esta es la forma simétrica de 2 en S dada por
Según el teorema espectral , existe alguna elección del marco ( e i ) en el que ( ii ij ) es una matriz diagonal . Los valores propios son las principales curvaturas de la superficie. Un marco diagonalizante a 1 , a 2 , a 3 consta del vector normal a 3 y dos direcciones principales a 1 y a 2 . A esto se le llama marco Darboux en la superficie. El marco se define canónicamente (por un orden en los valores propios, por ejemplo) lejos de los umbilicos de la superficie.
Marcos móviles
El marco Darboux es un ejemplo de marco en movimiento natural definido en una superficie. Con ligeras modificaciones, la noción de un marco en movimiento puede generalizarse a una hipersuperficie en un espacio euclidiano n- dimensional , o de hecho a cualquier subvariedad incrustada . Esta generalización es una de las muchas contribuciones de Élie Cartan al método de mover marcos.
Marcos en el espacio euclidiano
Un marco (euclidiano) en el espacio euclidiano E n es un análogo dimensional superior del trihedro. Se define como una tupla ( n + 1) de vectores extraídos de E n , ( v ; f 1 , ..., f n ), donde:
- v es una elección de origen de E n , y
- ( f 1 , ..., f n ) es una base ortonormal del espacio vectorial basado en v .
Sea F ( n ) el conjunto de todos los marcos euclidianos. El grupo euclidiano actúa sobre F ( n ) de la siguiente manera. Sea φ ∈ Euc ( n ) un elemento del grupo euclidiano que se descompone como
donde A es una transformación ortogonal y x 0 es una traslación. Luego, en un marco,
Geométricamente, el grupo afín mueve el origen de la forma habitual, y actúa mediante una rotación sobre los vectores de base ortogonal, ya que estos están "unidos" a la elección particular de origen. Esta es una acción grupal efectiva y transitiva , por lo que F ( n ) es un espacio homogéneo principal de Euc ( n ).
Ecuaciones de estructura
Defina el siguiente sistema de funciones F ( n ) → E n : [1]
El operador de proyección P es de especial importancia. La imagen inversa de un punto P −1 ( v ) consta de todas las bases ortonormales con punto base en v . En particular, P : F ( n ) → E n presenta F ( n ) como un paquete principal cuyo grupo de estructura es el grupo ortogonal O ( n ). (De hecho, este paquete principal es solo el paquete tautológico del espacio homogéneo F ( n ) → F ( n ) / O ( n ) = E n .)
La derivada exterior de P (considerada como una forma diferencial con valores vectoriales ) se descompone únicamente como
para algún sistema de una forma escalar valorada ω i . De manera similar, hay una matriz n × n de formas uniformes (ω i j ) tal que
Dado que e i son ortonormales bajo el producto interno del espacio euclidiano, la matriz de formas 1 ω i j es simétrica sesgada . En particular, está determinado únicamente por su parte triangular superior (ω j i | i < j ). El sistema de n ( n + 1) / 2 formas uniformes (ω i , ω j i ( i < j )) da un paralelismo absoluto de F ( n ), ya que los diferenciales de coordenadas pueden expresarse cada uno en términos de ellos. Bajo la acción del grupo euclidiano, estas formas se transforman de la siguiente manera. Sea φ la transformación euclidiana que consta de una traslación v i y una matriz de rotación ( A j i ). Luego, lo siguiente se verifica fácilmente mediante la invariancia de la derivada exterior bajo retroceso :
Además, según el lema de Poincaré , uno tiene las siguientes ecuaciones de estructura
Marcos adaptados y ecuaciones de Gauss-Codazzi
Sea φ: M → E n una incrustación de una variedad suave p -dimensional en un espacio euclidiano. El espacio de fotogramas adaptados en M , denotado aquí por F φ ( M ) es la colección de tuplas ( x ; f 1 , ..., f n ) donde x ∈ M , y f i forman una base ortonormal de E n tal que f 1 , ..., f p son tangentes a φ ( M ) en φ ( v ). [2]
Ya se han considerado varios ejemplos de marcos adaptados. El primer vector T del marco Frenet-Serret ( T , N , B ) es tangente a una curva, y los tres vectores son mutuamente ortonormales. De manera similar, el marco de Darboux en una superficie es un marco ortonormal cuyos primeros dos vectores son tangentes a la superficie. Los marcos adaptados son útiles porque las formas invariantes (ω i , ω j i ) retroceden a lo largo de φ, y las ecuaciones estructurales se conservan bajo este retroceso. En consecuencia, el sistema de formas resultante proporciona información estructural sobre cómo se sitúa M dentro del espacio euclidiano. En el caso del marco Frenet-Serret, las ecuaciones estructurales son precisamente las fórmulas de Frenet-Serret, y estas sirven para clasificar curvas completamente hasta movimientos euclidianos. El caso general es análogo: las ecuaciones estructurales para un sistema adaptado de marcos clasifican subvariedades incrustadas arbitrarias hasta un movimiento euclidiano.
En detalle, la proyección π: F ( M ) → M dada por π ( x ; f i ) = x da F ( M ) la estructura de un paquete principal en M (el grupo de estructura para el paquete es O ( p ) × O ( n - p ).) Este paquete principal se inserta en el paquete de marcos euclidianos F ( n ) por φ ( v ; f i ): = (φ ( v ); f i ) ∈ F ( n ). Por lo tanto, es posible definir los retrocesos de las formas invariantes de F ( n ):
Dado que la derivada exterior es equivariante bajo retrocesos, las siguientes ecuaciones estructurales se mantienen
Además, debido a que algunos de los vectores de marco f 1 ... f p son tangentes a M mientras que los otros son normales, las ecuaciones estructurales se dividen naturalmente en sus contribuciones tangenciales y normales. [3] Deje que los índices latinos minúsculas a , b , c oscilen entre 1 ap (es decir, los índices tangenciales) y los índices griegos μ, γ oscilen entre p +1 an (es decir, los índices normales). La primera observación es que
ya que estas formas generan la subvariedad φ ( M ) (en el sentido del teorema de integración de Frobenius ).
El primer conjunto de ecuaciones estructurales ahora se convierte en
De estos, el último implica por el lema de Cartan que
donde s mu ab es simétrica en un y B (las segundas formas fundamentales de φ ( M )). Por tanto, las ecuaciones (1) son las fórmulas de Gauss (véanse las ecuaciones de Gauss-Codazzi ). En particular, theta aab una es la forma de conexión para la conexión de Levi-Civita en M .
Las segundas ecuaciones estructurales también se dividen en las siguientes
La primera ecuación es la ecuación de Gauss que expresa la forma de curvatura Ω de M en términos de la segunda forma fundamental. La segunda es la ecuación de Codazzi-Mainardi que expresa las derivadas covariantes de la segunda forma fundamental en términos de la conexión normal. La tercera es la ecuación de Ricci .
Ver también
- Derivado de Darboux
- Forma Maurer-Cartan
Notas
- ^ Tratamiento basado en el Apéndice II de Hermann a Cartan (1983), aunque adopta este enfoque para el grupo afín . El caso del grupo euclidiano se puede encontrar, en términos equivalentes pero un poco más avanzados, en Sternberg (1967), capítulo VI. Tenga en cuenta que hemos abusado ligeramente de la notación (siguiendo a Hermann y también a Cartan) al considerar f i como elementos del espacio euclidiano E n en lugar del espacio vectorial R n basado en v . Esta sutil distinción no importa, ya que en última instancia solo se utilizan los diferenciales de estos mapas.
- ↑ Este tratamiento es de Sternberg (1964), Capítulo VI, Teorema 3.1, p. 251.
- ↑ Aunque tratada por Sternberg (1964), esta descripción explícita es de los capítulos III.1 y IV.7.C de Spivak (1999).
Referencias
- Cartan, Élie (1937). La théorie des groupes finis et continus et la géométrie différentielle traitées par la méthode du repère mobile . Gauthier-Villars.
- Cartan, É (Apéndices de Hermann, R.) (1983). Geometría de espacios riemannianos . Math Sci Press, Massachusetts.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- Darboux, Gaston (1887 , 1889 , 1896). Leçons sur la théorie génerale des surface: [http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0001.001 Volume I], [http: // www .hti.umich.edu / cgi / t / text / text-idx? c = umhistmath; idno = ABV4153.0002.001 Volume II], [http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text -idx? c = umhistmath; idno = ABV4153.0003.001 Volumen III], [http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0004.001 Volumen IV ] . Gauthier-Villars. Compruebe los valores de fecha en:
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( ayuda ); Enlace externo en|title=
( ayuda )
- Guggenheimer, Heinrich (1977). "Capítulo 10. Superficies". Geometría diferencial . Dover. ISBN 0-486-63433-7.
- Spivak, Michael (1999). Una introducción completa a la geometría diferencial (Volumen 3) . Publicar o perecer. ISBN 0-914098-72-1.
- Spivak, Michael (1999). Una introducción completa a la geometría diferencial (Volumen 4) . Publicar o perecer. ISBN 0-914098-73-X.
- Sternberg, Shlomo (1964). Conferencias sobre geometría diferencial . Prentice Hall.