Suavidad

En análisis matemático , la suavidad de una función es una propiedad que se mide por el número de derivadas continuas que tiene en algún dominio. ^[1] Como mínimo, una función podría considerarse suave si es diferenciable en todas partes (por lo tanto, continua). ^[2] En el otro extremo, también podría poseer derivadas de todos los órdenes en su dominio , en cuyo caso se dice que es infinitamente diferenciable y se denomina función (o función) C-infinito . ^[3]${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$

La clase de diferenciabilidad es una clasificación de funciones según las propiedades de sus derivadas . Es una medida del mayor orden de derivada que existe para una función.

Considere un conjunto abierto en la línea real y una función f definida en ese conjunto con valores reales. Sea k un número entero no negativo . Se dice que la función f es de (diferenciabilidad) clase C ^k si las derivadas f ′, f ″, ..., f ^{( k )} existen y son continuas . Se dice que la función f es infinitamente diferenciable , suave o de clase C ^∞ , si tiene derivadas de todos los órdenes.^[4] Sedice que lafunción f es de clase C ^ω , o analítica , si f es suave y si suexpansión de la serie de Taylor alrededor de cualquier punto de su dominio converge con la función en alguna vecindad del punto. Por tanto, C ^ω está estrictamente contenido en C ^∞ . Las funciones de relieve son ejemplos de funciones en C ^∞ pero no en C ^ω .

Para decirlo de otra manera, la clase C ⁰ consta de todas las funciones continuas. La clase C ¹ consta de todas las funciones diferenciables cuya derivada es continua; tales funciones se denominan continuamente diferenciables . Así, una función C ¹ es exactamente una función cuya derivada existe y es de clase C ⁰ . En general, las clases C ^k se pueden definir de forma recursiva declarando C ⁰ como el conjunto de todas las funciones continuas y declarando C ^k para cualquier entero positivo kser el conjunto de todas las funciones diferenciables cuya derivada está en C ^{k −1} . En particular, C ^k está contenido en C ^{k −1} para cada k > 0, y hay ejemplos que muestran que esta contención es estricta ( C ^k ⊊ C ^{k −1} ). La clase C ^∞ de funciones infinitamente diferenciables, es la intersección de las clases C ^k cuando k varía sobre los enteros no negativos.

Debido a que oscila cuando x → 0, no es continuo en cero. Por tanto, es diferenciable pero no de clase C ¹ . Además, si se toma ( x ≠ 0) en este ejemplo, se puede usar para mostrar que la función derivada de una función diferenciable puede ser ilimitada en un conjunto compacto y, por lo tanto, que una función diferenciable en un conjunto compacto puede no ser localmente Lipschitz continuo .${\ Displaystyle \ cos (1 / x)}$${\ Displaystyle g '(x)}$${\ Displaystyle g (x)}$${\ Displaystyle g (x) = x ^ {4/3} \ sin (1 / x)}$

La función exponencial es analítica y, por tanto, entra en la clase C ^ω . Las funciones trigonométricas también son analíticas dondequiera que se definan.

Una función de golpe es una función suave con soporte compacto .

La función C ⁰ f ( x ) = x para x ≥ 0 y 0 en caso contrario.

La función g ( x ) = x ² sin (1 / x ) para x > 0 .

La función con for y es diferenciable. Sin embargo, esta función no es continuamente diferenciable.${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2} \ sin \ left ({\ tfrac {1} {x}} \ right)}$${\ Displaystyle x \ neq 0}$${\ Displaystyle f (0) = 0}$

Una función fluida que no es analítica.

Dos segmentos de curva de Bézier adjuntos que son solo C ⁰ continuos

Dos segmentos de curva de Bézier unidos de tal manera que son C ¹ continuos

Curvas con contacto G ¹ (círculos, línea)

${\ displaystyle (1- \ varepsilon ^ {2}) x ^ {2} -2px + y ^ {2} = 0, \ p> 0 \, \ varepsilon \ geq 0}$
lápiz de las secciones cónicas con G ² -Contacto: fix p, la variable ( círculo, : elipse, : parábola, : hipérbola)${\ Displaystyle \ varepsilon}$
${\ Displaystyle \ varepsilon = 0}$${\ Displaystyle \ varepsilon = 0.8}$${\ Displaystyle \ varepsilon = 1}$${\ Displaystyle \ varepsilon = 1.2}$