En matemáticas , el colector Gieseking es un hiperbólica cusped 3-colector de volumen finito. No es orientable y tiene el volumen más pequeño entre los colectores hiperbólicos no compactos, con un volumen de aproximadamente 1.01494161. Fue descubierto por Hugo Gieseking ( 1912 ).
La variedad de Gieseking se puede construir quitando los vértices de un tetraedro , luego pegando las caras juntas en pares usando mapas afines lineales. Rotula los vértices 0, 1, 2, 3. Pega la cara con vértices 0,1,2 a la cara con vértices 3,1,0 en ese orden. Pegue la cara 0,2,3 a la cara 3,2,1 en ese orden. En la estructura hiperbólica de la variedad de Gieseking, este tetraedro ideal es la descomposición poliédrica canónica de David BA Epstein y Robert C. Penner. Además, el ángulo formado por las caras es. La triangulación tiene un tetraedro, dos caras, un borde y no tiene vértices, por lo que todos los bordes del tetraedro original están pegados.
El colector Gieseking tiene una doble cubierta homeomorfa al complemento de nudos en forma de ocho . La variedad compacta subyacente tiene un límite de botella de Klein , y el primer grupo de homología de la variedad de Gieseking son los números enteros.
El colector de Gieseking es un haz de fibras sobre el círculo con fibra, el toro una vez perforado y la monodromía dada por El cuadrado de este mapa es el mapa del gato de Arnold y esto da otra forma de ver que el colector de Gieseking está doblemente cubierto por el complemento del nudo en forma de ocho.
Referencias
- Gieseking, Hugo (1912), Analytische Untersuchungen über Topologische Gruppen , Tesis, Muenster, JFM 43.0202.03
- Adams, Colin C. (1987), "The noncompact hyperbolic 3-manifold of minimal volume", Proceedings of the American Mathematical Society , 100 (4): 601–606, doi : 10.2307 / 2046691 , ISSN 0002-9939 , MR 0894423
- Epstein, David BA ; Penner, Robert C. (1988). "Descomposiciones euclidianas de variedades hiperbólicas no compactas" . Revista de geometría diferencial . 27 (1): 67–80. doi : 10.4310 / jdg / 1214441650 . Señor 0918457 .