En matemáticas , el mapa del gato de Arnold es un mapa caótico del toro en sí mismo, llamado así por Vladimir Arnold , quien demostró sus efectos en la década de 1960 usando una imagen de un gato, de ahí el nombre. [1]
Pensando en el toro como el espacio del cociente , El mapa del gato de Arnold es la transformación dado por la fórmula
De manera equivalente, en notación matricial , esto es
Es decir, con una unidad igual al ancho de la imagen cuadrada, la imagen se corta una unidad hacia arriba, luego dos unidades hacia la derecha, y todo lo que queda fuera de ese cuadrado unitario se desplaza hacia atrás por la unidad hasta que esté dentro del cuadrado. .
Propiedades
- Γ es invertible porque la matriz tiene determinante 1 y por lo tanto su inverso tiene entradas enteras ,
- Γ preserva el área ,
- Γ tiene un punto fijo hiperbólico único (los vértices del cuadrado). La transformación lineal que define el mapa es hiperbólica: sus valores propios son números irracionales, uno mayor y otro menor que 1 (en valor absoluto), de modo que están asociados, respectivamente, a una expansión y un adjudicador espacio característico que son también los estable y variedades inestables . Los espacios propios son ortogonales porque la matriz es simétrica . Dado que los vectores propios tienen componentes racionalmente independientes , ambos espacios propios cubren densamente el toro. El mapa del gato de Arnold es un ejemplo particularmente conocido de automorfismo toral hiperbólico , que es un automorfismo de un toro dado por una matriz unimodular cuadrada que no tiene autovalores de valor absoluto 1. [2]
- El conjunto de puntos con una órbita periódica es denso en el toro. En realidad, un punto es periódico si y solo si sus coordenadas son racionales .
- Γ es topológicamente transitivo (es decir, hay un punto cuya órbita es densa , esto sucede para cualquier punto en el espacio propio en expansión )
- El número de puntos con período es exactamente (dónde y son los valores propios de la matriz). Por ejemplo, los primeros términos de esta serie son 1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205 .... [3] (La misma ecuación es válida para cualquier automorfismo toral hiperbólico unimodular si se reemplazan los valores propios. )
- Γ es ergódico y mixto ,
- Γ es un difeomorfismo de Anosov y, en particular, es estructuralmente estable .
El mapa discreto del gato
Es posible definir un análogo discreto del mapa de gatos. Una de las características de este mapa es que la transformación aparentemente aleatoriza la imagen, pero vuelve a su estado original después de varios pasos. Como se puede ver en la imagen adyacente, la imagen original del gato se corta y luego se envuelve en la primera iteración de la transformación. Después de algunas iteraciones, la imagen resultante parece bastante aleatoria o desordenada, sin embargo, después de más iteraciones, la imagen parece tener un orden adicional: imágenes fantasmales del gato, múltiples copias más pequeñas dispuestas en una estructura repetitiva e incluso copias al revés del original. imagen, y finalmente vuelve a la imagen original.
El mapa de gato discreto describe el flujo de espacio de fase correspondiente a la dinámica discreta de un cordón que salta desde el sitio q t (0 ≤ q t < N ) al sitio q t +1 en un anillo circular con circunferencia N , de acuerdo con la ecuación de segundo orden :
Al definir la variable de momento p t = q t - q t −1 , la dinámica de segundo orden anterior se puede reescribir como un mapeo del cuadrado 0 ≤ q , p < N (el espacio de fase del sistema dinámico discreto) sobre sí mismo :
Este mapeo de gatos de Arnold muestra el comportamiento de mezcla típico de los sistemas caóticos. Sin embargo, dado que la transformación tiene un determinante igual a la unidad, preserva el área y, por lo tanto, es invertible siendo la transformación inversa:
Para las variables reales q y p , es común para establecer N = 1. En ese caso, un mapeo del cuadrado de la unidad con las condiciones de contorno periódicas sobre sí misma resultados.
Cuando N se establece en un valor entero, las variables de posición y momento se pueden restringir a números enteros y el mapeo se convierte en un mapeo de una cuadrícula cuadrada toroidial de puntos sobre sí mismo. Este mapa de gato entero se usa comúnmente para demostrar el comportamiento de mezcla con la recurrencia de Poincaré utilizando imágenes digitales. Se puede mostrar que el número de iteraciones necesarias para restaurar la imagen nunca excede 3N. [4]
Para una imagen, la relación entre iteraciones podría expresarse de la siguiente manera:
Modelos
Código Python para el mapa del gato de Arnold
importar sistema operativodesde PIL Importación de imágenes abierta como load_pic , nueva como new_picdef principales ( Ruta , iteraciones , keep_all = Falso , nombre = "arnold_cat- {nombre} - {index} .png" ): """ Parámetros ruta: str camino para fotografiar iteraciones: int número de iteraciones para calcular nombre: str formattable cadena para usar como plantilla para los nombres de archivo "" " title = os . camino . splitext ( os . ruta . split ( ruta ) [ 1 ]) [ 0 ] contador = 0 mientras contador < iteraciones : con load_pic ( ruta ) como imagen : dim = ancho , alto = imagen . tamaño con new_pic ( imagen . modo , dim ) como lienzo : para x en gama ( ancho ): para y en rango ( altura ): nx = ( 2 * x + y ) % anchura ny = ( x + y ) % altura lienzo . putpixel (( nx , ny ), image . getpixel (( x , y ))) si contador > 0 y no keep_all : os . eliminar ( ruta ) contador + = 1 imprimir ( contador , fin = ' \ r ' ) ruta = nombre . formato ( nombre = título , índice = contador ) lienzo . guardar ( ruta ) devolución de lienzoif __name__ == '__main__' : path = input ( "Ingrese la ruta a una imagen: \ n \ t " ) mientras que no es os . camino . existe ( ruta ): ruta = entrada ( "No se pudo encontrar la imagen elegida, inténtelo de nuevo: \ n \ t " ) resultado = principal ( ruta , 3 ) resultado . mostrar ()
Ver también
- Lista de mapas caóticos
- Gráfico de recurrencia
Referencias
- ^ Vladimir I. Arnold ; A. Avez (1967). Problèmes Ergodiques de la Mécanique Classique (en francés). París: Gauthier-Villars.; Traducción en inglés:VI Arnold; A. Avez (1968). Problemas ergódicos en la mecánica clásica . Nueva York: Benjamin.
- ^ Franks, John M (octubre de 1977). "Conjuntos invariantes de automorfismos torales hiperbólicos". Revista Estadounidense de Matemáticas . Prensa de la Universidad Johns Hopkins. 99 (5): 1089–1095. doi : 10.2307 / 2374001 . ISSN 0002-9327 .
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A004146" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ Dyson, Freeman John ; Falk, Harold (1992). "Período de un mapeo discreto de gatos". The American Mathematical Monthly . Asociación Matemática de América. 99 (7): 603–614. doi : 10.2307 / 2324989 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2324989 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Mapa del gato de Arnold" . MathWorld .
- Efecto de la asignación al azar de las condiciones iniciales sobre el tiempo de recurrencia
- Mapa del gato de Arnold por Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project .
- Arnold's Cat Map: una exploración gráfica interactiva