Nudo en forma de ocho (matemáticas)

En la teoría de nudos , un nudo en forma de ocho (también llamado nudo de Listing ^[1] ) es el nudo único con un número de cruce de cuatro. Esto lo convierte en el nudo con el tercer número de cruces más pequeño posible, después del nudo desanudado y trébol . El nudo en forma de ocho es un nudo principal .

Nudo en forma de ocho
Nombre común	Nudo en forma de ocho
Arf invariante	1
Longitud de la trenza	4
Trenza no.	3
Puente no.	2
Crosscap no.	2
Cruce no.	4
Género	1
Volumen hiperbólico	2.02988
Stick no.	7
Desanudando no.	1
Notación de Conway	[22]
Notación A – B	4 1
Notación Dowker	4, 6, 8, 2
Último / Siguiente	3 1 /  5 1
Otro
alternante , hiperbólico , fibroso , principal , completamente anfiquiral , giro

Nudo en forma de ocho de práctico anudado, con extremos unidos

Origen del nombre

El nombre se da porque atar un nudo normal en forma de ocho en una cuerda y luego unir los extremos juntos, de la manera más natural, da un modelo del nudo matemático.

Descripción

Una representación paramétrica simple del nudo en forma de ocho es como el conjunto de todos los puntos ( x , y , z ) donde

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\cos {(3t)}\\y&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\sin {(3t)}\\z&=\sin {(4t)}\end{aligned}}}$

para t variar sobre los números reales (ver realización visual 2D en la parte inferior derecha).

El nudo en forma de ocho es primo , alterno , racional con un valor asociado de 5/2 y es aquiral . El nudo en forma de ocho también es un nudo con fibras . Esto se desprende de otras representaciones del nudo menos simples (pero muy interesantes):

(1) Es una trenza cerrada homogénea ^{[nota 1]} (es decir, el cierre de la trenza de 3 cuerdas σ ₁ σ ₂ ⁻¹ σ ₁ σ ₂ ⁻¹ ), y un teorema de John Stallings muestra que cualquier trenza homogénea cerrada tiene fibra.

(2) Es el vínculo en (0,0,0,0) de un punto crítico aislado de un mapa polinomial real F : R ⁴ → R ² , por lo que (según un teorema de John Milnor ) el mapa de Milnor de F es en realidad una fibración. Bernard Perron encontró la primera F de este tipo para este nudo, a saber,

${\displaystyle F(x,y,z,t)=G(x,y,z^{2}-t^{2},2zt),\,\!}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,z,t)=\ &(z(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})+x(6x^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2}),\\&\ tx{\sqrt {2}}+y(6x^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2})).\end{aligned}}}$

Propiedades matematicas

El nudo en forma de ocho ha jugado un papel importante históricamente (y continúa haciéndolo) en la teoría de 3 variedades . En algún momento de mediados a finales de la década de 1970, William Thurston demostró que la figura en ocho era hiperbólica , al descomponer su complemento en dos tetraedros hiperbólicos ideales . (Robert Riley y Troels Jørgensen, trabajando independientemente el uno del otro, habían demostrado anteriormente que el nudo en forma de ocho era hiperbólico por otros medios). Esta construcción, nueva en ese momento, lo llevó a muchos resultados y métodos poderosos. Por ejemplo, fue capaz de demostrar que todos pero diez cirugías Dehn en el nudo de ocho resultaron en no Haken , no Seifert-Fibered irreducible 3-variedades; estos fueron los primeros ejemplos de este tipo. Se han descubierto muchos más generalizando la construcción de Thurston a otros nudos y eslabones.

El nudo en forma de ocho es también el nudo hiperbólico cuyo complemento tiene el menor volumen posible ,${\displaystyle 6\Lambda (\pi /6)\approx 2.02988...}$(secuencia A091518 en la OEIS ), donde${\displaystyle \Lambda }$es la función de Lobachevsky . ^[2] Desde esta perspectiva, el nudo en forma de ocho puede considerarse el nudo hiperbólico más simple. El complemento de ocho nudos es una doble cubierta del colector Gieseking , que tiene el volumen más pequeño entre los 3 colectores hiperbólicos no compactos.

El nudo en forma de ocho y el nudo pretzel (−2,3,7) son los únicos dos nudos hiperbólicos que se sabe que tienen más de 6 cirugías excepcionales , cirugías de Dehn que dan como resultado un 3-múltiple no hiperbólico; tienen 10 y 7, respectivamente. Un teorema de Lackenby y Meyerhoff, cuya demostración se basa en la conjetura de la geometrización y la asistencia de la computadora , sostiene que 10 es el mayor número posible de cirugías excepcionales de cualquier nudo hiperbólico. Sin embargo, actualmente no se sabe si el nudo en forma de ocho es el único que alcanza el límite de 10. Una conjetura bien conocida es que el nudo (a excepción de los dos nudos mencionados) es 6.

Representación cuadrada simple de la configuración en forma de ocho.

Representación simétrica generada por ecuaciones paramétricas.

Superficie matemática que ilustra el nudo en forma de ocho

El nudo en forma de ocho tiene género 1 y tiene fibras. Por lo tanto, su complemento fibras sobre el círculo, siendo las fibras superficies Seifert que son toros bidimensionales con un componente límite. El mapa de monodromía es entonces un homeomorfismo del 2-toro, que se puede representar en este caso por la matriz${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}})}$.

Invariantes

El polinomio de Alexander del nudo en forma de ocho es

${\displaystyle \Delta (t)=-t+3-t^{-1},\ }$

el polinomio de Conway es

${\displaystyle \nabla (z)=1-z^{2},\ }$^[3]

y el polinomio de Jones es

${\displaystyle V(q)=q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}.\ }$

La simetría entre ${\displaystyle q}$ y ${\displaystyle q^{-1}}$ en el polinomio de Jones refleja el hecho de que el nudo en forma de ocho es aquiral.

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Nudo en forma de ocho