En el análisis funcional , la circunferencia de un espacio de Banach es el mínimo de longitudes de curvas cerradas simples simétricas centralmente en la esfera unitaria del espacio. De manera equivalente, es el doble de las distancias mínimas entre puntos opuestos de la esfera, medidas dentro de la esfera. [1] [2]
Cada espacio de Banach de dimensión finita tiene un par de puntos opuestos en la esfera unitaria que logra la distancia mínima y una curva cerrada simple simétrica centralmente que logra la longitud mínima. Sin embargo, tal curva puede no existir siempre en espacios de dimensión infinita. [1]
La circunferencia es siempre de al menos cuatro, porque el camino más corto en la esfera unitaria entre dos puntos opuestos no puede ser más corto que el segmento de dos líneas de longitud que los conecta a través del origen del espacio. Un espacio de Banach para el que son exactamente cuatro se dice que es plano . Existen espacios planos de Banach de dimensión infinita en los que la circunferencia se logra mediante una curva de longitud mínima; un ejemplo es el espacio C [0,1] de funciones continuas desde el intervalo unitario hasta los números reales , con la norma sup . La esfera unitaria de tal espacio tiene la propiedad contradictoria de que ciertos pares de puntos opuestos tienen la misma distancia dentro de la esfera que en todo el espacio. [3]
La circunferencia es una función continua en el compactum de Banach-Mazur , un espacio cuyos puntos corresponden a los espacios vectoriales normalizados de una dimensión dada. [2] La circunferencia del espacio dual de un espacio vectorial normado es siempre igual a la circunferencia del espacio original. [2] [4]
Ver también
Referencias
- ↑ a b Schäffer, Juan Jorge (1967), "Diámetro interior, perímetro y circunferencia de esferas", Mathematische Annalen , 173 : 79–82, doi : 10.1007 / BF01351519 , MR 0218875.
- ^ a b c Álvarez Paiva, JC (2006), "Algunos problemas de geometría de Finsler", Manual de geometría diferencial. Vol. II , Elsevier / Holanda Septentrional, Ámsterdam, págs. 1–33, doi : 10.1016 / S1874-5741 (06) 80004-X , MR 2194667. Ver en particular la p. 16 .
- ^ Harrell, RE; Karlovitz, LA (1970), "Cinchas y espacios planos de Banach", Boletín de la American Mathematical Society , 76 : 1288–1291, doi : 10.1090 / S0002-9904-1970-12643-X , MR 0267383.
- ^ Álvarez Paiva, JC (2006), "Las esferas duales tienen la misma circunferencia" (PDF) , American Journal of Mathematics , 128 (2): 361–371, arXiv : math / 0408414 , doi : 10.1353 / ajm.2006.0015 , MR 2214896.