En matemáticas , una esfera unitaria es simplemente una esfera de radio uno alrededor de un centro dado . De manera más general, es el conjunto de puntos de distancia 1 desde un punto central fijo, donde se pueden usar diferentes normas como nociones generales de "distancia". Una bola unitaria es el conjunto cerrado de puntos de distancia menor o igual a 1 desde un punto central fijo. Por lo general, el centro está en el origen del espacio, por lo que se habla de "la" bola unitaria o "la" esfera unitaria. Los casos especiales son el círculo unitario y el disco unitario .
La importancia de la esfera unitaria es que cualquier esfera se puede transformar en una esfera unitaria mediante una combinación de traslación y escala . De esta forma las propiedades de las esferas en general se pueden reducir al estudio de la esfera unitaria.
Esferas unitarias y bolas en el espacio euclidiano
En el espacio euclidiano de n dimensiones, la esfera unitaria ( n −1) -dimensional es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la ecuación
La bola unitaria abierta n- dimensional es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la desigualdad
y la bola unitaria cerrada n- dimensional es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la desigualdad
Fórmulas generales de área y volumen
La ecuación clásica de una esfera unitaria es la del elipsoide con un radio de 1 y sin alteraciones en los ejes x , y o z :
El volumen de la bola unitaria en el espacio euclidiano n- dimensional y el área de la superficie de la esfera unitaria aparecen en muchas fórmulas de análisis importantes . El volumen de la bola unitaria en n dimensiones, que denotamos V n , se puede expresar haciendo uso de la función gamma . Es
donde n !! es el factorial doble .
El hipervolumen de la esfera unitaria ( n −1) -dimensional ( es decir , el "área" del límite de la esfera unitaria n- dimensional), que denotamos A n , se puede expresar como
donde la última igualdad es válida solo para n > 0 .
Las superficies y los volúmenes para algunos valores de son como sigue:
(área de superficie) | (volumen) | |||
---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | ||
1 | 2 | 2 | ||
2 | 6.283 | 3.141 | ||
3 | 12.57 | 4.189 | ||
4 | 19,74 | 4.935 | ||
5 | 26,32 | 5.264 | ||
6 | 31.01 | 5.168 | ||
7 | 33.07 | 4.725 | ||
8 | 32,47 | 4.059 | ||
9 | 29,69 | 3.299 | ||
10 | 25,50 | 2.550 |
donde los valores decimales expandidos para n ≥ 2 se redondean a la precisión mostrada.
Recursividad
Los valores de A n satisfacen la recursividad:
- por .
Los valores de V n satisfacen la recursividad:
- por .
Dimensiones fraccionales
Las fórmulas para A n y V n se pueden calcular para cualquier número real n ≥ 0, y hay circunstancias en las que es apropiado buscar el área de la esfera o el volumen de la bola cuando n no es un número entero no negativo.
Otros radios
El área de la superficie de una esfera ( n –1) -dimensional con radio r es A n r n −1 y el volumen de una bola n- dimensional con radio r es V n r n . Por ejemplo, el área es A = 4 π r 2 para la superficie de la bola tridimensional de radio r . El volumen es V = 4 π r 3 /3 para la bola tridimensional de radio r .
Bolas unitarias en espacios vectoriales normativos
Más precisamente, la bola unitaria abierta en un espacio vectorial normalizado , con la norma , es
Es el interior de la bola unitaria cerrada de ( V , || · ||):
El último es la unión disjunta del primero y su frontera común, la esfera unitaria de ( V , || · ||):
La "forma" de la bola unitaria depende completamente de la norma elegida; bien puede tener 'esquinas', y por ejemplo puede verse como [−1,1] n , en el caso de la norma máxima en R n . Se obtiene una bola naturalmente redonda como bola unitaria perteneciente a la norma espacial habitual de Hilbert , basada en el caso de dimensión finita en la distancia euclidiana ; su límite es lo que normalmente se entiende por esfera unitaria .
Dejar Definir lo habitual -norm para p ≥ 1 como:
Luego es la norma espacial habitual de Hilbert . se llama la norma de Hamming, o -norma. La condición p ≥ 1 es necesaria en la definición denorma, ya que la bola unitaria en cualquier espacio normado debe ser convexa como consecuencia de la desigualdad del triángulo . Dejar denotar la norma máxima o -norma de x.
Tenga en cuenta que para las circunferencias de las bolas unitarias bidimensionales (n = 2), tenemos:
- es el valor mínimo.
- es el valor máximo.
Generalizaciones
Espacios métricos
Las tres definiciones anteriores se pueden generalizar directamente a un espacio métrico , con respecto a un origen elegido. Sin embargo, las consideraciones topológicas (interior, cierre, borde) no necesitan aplicarse de la misma manera (por ejemplo, en espacios ultramétricos , los tres son conjuntos abiertos y cerrados simultáneamente), y la esfera unitaria puede incluso estar vacía en algunos espacios métricos.
Formas cuadráticas
Si V es un espacio lineal con una verdadera forma cuadrática F : V → R, entonces {p ∈ V : F (p) = 1} puede ser llamado la unidad esfera [1] [2] o unidad cuasi-esfera de V . Por ejemplo, la forma cuadrática, cuando se establece igual a uno, produce la hipérbola unitaria que desempeña el papel de "círculo unitario" en el plano de los números complejos divididos . De manera similar, la forma cuadrática x 2 produce un par de líneas para la esfera unitaria en el plano numérico dual .
Ver también
notas y referencias
- ^ Takashi Ono (1994) Variaciones sobre un tema de Euler: formas cuadráticas, curvas elípticas y mapas de Hopf , capítulo 5: mapas esféricos cuadráticos, página 165, Plenum Press , ISBN 0-306-44789-4
- ^ F. Reese Harvey (1990) Spinors y calibraciones , "Esferas generalizadas", página 42, Academic Press , ISBN 0-12-329650-1
- Mahlon M. Day (1958) Normed Linear Spaces , página 24, Springer-Verlag .
- Deza, E .; Deza, M. (2006), Diccionario de distancias , Elsevier, ISBN 0-444-52087-2. Revisado en Newsletter of the European Mathematical Society 64 (junio de 2007) , p. 57. Este libro está organizado como una lista de distancias de muchos tipos, cada una con una breve descripción.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Unidad de esfera" . MathWorld .