Principio cuadrado

En la teoría matemática de conjuntos , un principio de cuadrado es un principio combinatorio que afirma la existencia de una secuencia coherente de conjuntos cortos cerrados ilimitados (club) de modo que ningún conjunto (largo) club es coherente con todos ellos. Como tales, pueden verse como una especie de fenómeno de incompatibilidad . ^[1] Se introdujeron por Ronald Jensen en su análisis de la estructura fina de la universo construible L .

Definición

Defina Sing como la clase de todos los ordinales límite que no son regulares . El cuadrado global establece que hay un sistema que satisface:${\displaystyle (C_{\beta })_{\beta \in \mathrm {Sing} }}$

1. ${\displaystyle C_{\beta }}$es un conjunto de club de .${\displaystyle \beta }$
2. Antiguo Testamento${\displaystyle (C_{\beta })<\beta }$
3. Si es un punto límite de entonces y${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle C_{\beta }}$${\displaystyle \gamma \in \mathrm {Sing} }$${\displaystyle C_{\gamma }=C_{\beta }\cap \gamma }$

Variante relativa a un cardenal

Jensen también presentó una versión local del principio. ^[2] Si es un cardenal incontable, entonces afirma que hay una secuencia que satisface:${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \Box _{\kappa }}$${\displaystyle (C_{\beta }\mid \beta {\text{ a limit point of }}\kappa ^{+})}$

1. ${\displaystyle C_{\beta }}$es un conjunto de club de .${\displaystyle \beta }$
2. Si entonces ${\displaystyle cf\beta <\kappa }$${\displaystyle |C_{\beta }|<\kappa }$
3. Si es un punto límite de entonces${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle C_{\beta }}$${\displaystyle C_{\gamma }=C_{\beta }\cap \gamma }$

Jensen demostró que este principio es válido en el universo construible para cualquier κ cardinal incontable.

Notas

1. Cummings, James (2005), "Notes on Singular Cardinal Combinatorics", Notre Dame Journal of Formal Logic , 46 (3): 251-282, doi : 10.1305 / ndjfl / 1125409326 Sección 4.
2. Jech, Thomas (2003), Teoría de conjuntos: Tercera edición del milenio , Monografías de Springer en matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7, pag. 443.

• Jensen, R. Björn (1972), "La estructura fina de la jerarquía constructible", Annals of Mathematical Logic , 4 (3): 229-308, doi : 10.1016 / 0003-4843 (72) 90001-0 , MR  0309729

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