En matemáticas , particularmente en lógica matemática y teoría de conjuntos , un conjunto de club es un subconjunto de un ordinal límite que está cerrado bajo la topología de orden y no está acotado (ver más abajo) en relación con el ordinal límite. El nombre club es una contracción de "cerrado e ilimitado".
Definicion formal
Formalmente, si es un ordinal límite, luego un conjunto está cerrado en si y solo si para cada, Si , luego . Así, si el límite de alguna secuencia de es menos que , entonces el límite también está en .
Si es un ordinal límite y luego es ilimitado en si por alguna , hay algunos tal que .
Si un set está cerrado y sin límites, entonces es un set de palo . Las clases propias cerradas también son de interés (toda clase propia de ordinales es ilimitada en la clase de todos los ordinales).
Por ejemplo, el conjunto de todos los ordinales de límite contables es un conjunto de tréboles con respecto al primer ordinal incontable ; pero no es un palo fijado con respecto a ningún ordinal de límite superior, ya que no es cerrado ni ilimitado. El conjunto de todos los ordinales límite está cerrado ilimitado en . De hecho, un conjunto de palos no es más que el rango de una función normal (es decir, creciente y continua).
De manera más general, si es un conjunto no vacío y es un cardenal, entonces es club si cada unión de un subconjunto de es en y cada subconjunto de de cardinalidad menor que está contenido en algún elemento de (ver set estacionario ).
El filtro ilimitado cerrado
Dejar ser un ordinal límite de incontable cofinalidad Para algunos , dejar ser una secuencia de subconjuntos cerrados ilimitados de Luego También está cerrado ilimitado. Para ver esto, se puede notar que una intersección de conjuntos cerrados siempre está cerrada, por lo que solo necesitamos mostrar que esta intersección no tiene límites. Así que arregla cualquiery para cada n <ω elija de cada un elemento lo cual es posible porque cada uno es ilimitado. Dado que se trata de una colección de menos de ordinales, todos menos de su límite superior mínimo también debe ser menor que para que podamos llamarlo Este proceso genera una secuencia contable De hecho, el límite de esta secuencia también debe ser el límite de la secuencia y ya que cada está cerrado y es incontable, este límite debe estar en cada y por lo tanto este límite es un elemento de la intersección que está por encima lo que muestra que la intersección no tiene límites. QED.
A partir de esto, se puede ver que si es un cardenal regular, entonces es un no principal -Complete filtro en
Si es un cardenal regular, entonces los conjuntos de palos también se cierran bajo una intersección diagonal .
De hecho, si es regular y hay algún filtro activado cerrado bajo intersección diagonal, que contiene todos los conjuntos de la forma por luego debe incluir todos los conjuntos de palos.
Ver también
Referencias
- Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Saltador. ISBN 3-540-44085-2 .
- Lévy, Azriel (1979) Teoría básica de conjuntos , Perspectivas en lógica matemática, Springer-Verlag. Reimpreso en 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5
- Este artículo incorpora material de Club on PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .