Glosario de topología algebraica

Glosario de matemáticas

Este es un glosario de propiedades y conceptos de topología algebraica en matemáticas.

Ver también: glosario de topología , lista de temas de topología algebraica , glosario de teoría de categorías , glosario de geometría diferencial y topología , Cronología de variedades .

• Convención : A lo largo del artículo, I denota el intervalo de unidad, S ⁿ el n -sphere y D ⁿ el n -disk. Además, a lo largo del artículo, se supone que los espacios son razonables ; esto puede interpretarse en el sentido de, por ejemplo, que un espacio es un complejo CW o un espacio de Hausdorff débilmente generado de forma compacta . Del mismo modo, no se intenta ser definitivo sobre la definición de espectro . Un conjunto simple no se concibe como un espacio; es decir, generalmente distinguimos entre conjuntos simpliciales y sus realizaciones geométricas.
• Criterio de inclusión : como no hay un glosario de álgebra homológica en Wikipedia en este momento, este glosario también incluye algunos conceptos en álgebra homológica (por ejemplo, homotopía en cadena); algunos conceptos de topología geométrica también son un juego limpio. Por otro lado, los elementos que aparecen en el glosario de topología generalmente se omiten. La teoría de la homotopía abstracta y la teoría de la homotopía motívica también están fuera del alcance. El glosario de teoría de categorías cubre (o cubrirá) conceptos en teoría de categorías de modelos .

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*

El punto base de un espacio basado.

${\displaystyle X_{+}}$

Para un espacio no basado X , X ₊ es el espacio basado obtenido al unir un punto base disjunto.

A

retractación absoluta del vecindario

resumen

1. Teoría abstracta de la homotopía

Adams

1.   John Frank Adams .

2. La secuencia espectral de Adams .

3. La conjetura de Adams .

4. El e- invariante de Adams .

5. Las operaciones de Adams .

Alejandro dualidad

Truco de alexander

El truco de Alexander produce una sección del mapa de restricción , Top denota un grupo de homeomorfismo ; es decir, la sección se da enviando un homeomorfismo al homeomorfismo${\displaystyle \operatorname {Top} (D^{n+1})\to \operatorname {Top} (S^{n})}$${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n}}$

${\displaystyle {\widetilde {f}}:D^{n+1}\to D^{n+1},\,0\mapsto 0,0\neq x\mapsto |x|f(x/|x|)}$.

Esta sección es de hecho una homotopía inversa. ^[1]

Situs de análisis

espacio asférico

Espacio asférico

mapa de montaje

Atiyah

1.   Michael Atiyah .

2.   Dualidad Atiyah .

3. La secuencia espectral Atiyah-Hirzebruch .

B

construcción de barra

espacio basado

Un par ( X , x ₀ ) que consiste en un espacio X y un punto x ₀ en X .

Número de Betti

Homomorfismo de Bockstein

Borel

Conjetura de Borel .

Homología Borel-Moore

Teorema de Borsuk

Larva del moscardón

1.   Raoul Bott .

2. El Bott teorema de la periodicidad de los grupos unitarios decir: .${\displaystyle \pi _{q}U=\pi _{q+2}U,q\geq 0}$

3. El Bott teorema de la periodicidad de los grupos ortogonales decir: .${\displaystyle \pi _{q}O=\pi _{q+8}O,q\geq 0}$

Teorema del punto fijo de Brouwer

El teorema del punto fijo de Brouwer dice que cualquier mapa tiene un punto fijo.${\displaystyle f:D^{n}\to D^{n}}$

C

producto de tapa

Čech cohomología

celular

1. Un mapa ƒ: X → Y entre complejos CW es celular si para todo n .${\displaystyle f(X^{n})\subset Y^{n}}$

2. El teorema de aproximación celular dice que todo mapa entre complejos CW es homotópico a un mapa celular entre ellos.

3. La homología celular es la homología (canónica) de un complejo CW. Tenga en cuenta que se aplica a los complejos CW y no a los espacios en general. Una homología celular es altamente computable; es especialmente útil para espacios con descomposición celular natural como espacios proyectivos o Grassmannian.

homotopía en cadena

Cadena dieron mapas entre complejos de la cadena de módulos, un homotopy cadena s de f a g es una secuencia de homomorfismos de módulos que satisfacen .${\displaystyle f,g:(C,d_{C})\to (D,d_{D})}$ ${\displaystyle s_{i}:C_{i}\to D_{i+1}}$${\displaystyle f_{i}-g_{i}=d_{D}\circ s_{i}+s_{i-1}\circ d_{C}}$

mapa de la cadena

Un mapa de cadena entre complejos de cadena de módulos es una secuencia de homomorfismos de módulo que conmuta con los diferenciales; es decir, .${\displaystyle f:(C,d_{C})\to (D,d_{D})}$${\displaystyle f_{i}:C_{i}\to D_{i}}$${\displaystyle d_{D}\circ f_{i}=f_{i-1}\circ d_{C}}$

equivalencia de homotopía en cadena

Un mapa de cadena que es un isomorfismo hasta la homotopía en cadena; es decir, si ƒ : C → D es un mapa de cadena, entonces es una equivalencia de homotopía de cadena si hay un mapa de cadena g : D → C tal que g ƒ y ƒ g son homotópicos de cadena a los homomorfismos de identidad en C y D , respectivamente.

cambio de fibra

El cambio de fibra de una fibración p es una equivalencia de homotopía, hasta homotopía, entre las fibras de p inducida por un camino en la base.

variedad de personajes

La variedad de caracteres ^[2] de un grupo π y un grupo algebraico G (por ejemplo, un grupo de Lie complejo reductivo) es el cociente de la teoría geométrica invariante por G :

${\displaystyle {\mathcal {X}}(\pi ,G)=\operatorname {Hom} (\pi ,G)/\!/G}$.

clase característica

Deje vect ( X ) el conjunto de las clases de isomorfismo de fibrados vectoriales sobre X . Podemos ver como un functor contravariante de Top a Set enviando un mapa ƒ: X → Y al retroceso ƒ ^* a lo largo de él. Entonces, una clase característica es una transformación natural de Vect al functor de cohomología H ^* . Explícitamente, a cada paquete de vectores E asignamos una clase de cohomología, digamos, c ( E ). La asignación es natural en el sentido de que ƒ ^* c ( E ) = c (ƒ ^* E${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Vect} (X)}$).

teoría de la homotopía cromática

teoría de la homotopía cromática .

clase

1.   Clase Chern .

2.   Clase Stiefel-Whitney .

clasificando el espacio

En términos generales, un espacio de clasificación es un espacio que representa algún funtor contravariante definido en la categoría de espacios; por ejemplo, es el espacio de clasificación en el sentido de que es el functor que envía un espacio al conjunto de clases de isomorfismo de paquetes de vectores reales en el espacio.${\displaystyle BU}$${\displaystyle [-,BU]}$${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Vect} ^{\mathbb {R} }(X)}$

agarrando

secuencia espectral cobar

cobordismo

1. Ver cobordismo .

2. Un anillo de cobordismo es un anillo cuyos elementos son clases de cobordismo.

3. Ver también teorema de h-cobordismo , teorema de s-cobordismo .

anillo de coeficiente

Si E es un espectro de anillo, entonces el anillo de coeficiente es el anillo .${\displaystyle \pi _{*}E}$

secuencia de cofibra

Una secuencia de cofibras es cualquier secuencia que es equivalente a la secuencia para algunos ƒ donde es el cono de mapeo reducido de ƒ (llamado cofibra de ƒ).${\displaystyle X{\overset {f}{\to }}Y\to C_{f}}$${\displaystyle C_{f}}$

aproximación cofibrante

cofibración

Un mapa es una cofibración si satisface la propiedad: dado y homotopía tal que , hay una homotopía tal que . ^[3] Una cofibración es inyectiva y es un homeomorfismo sobre su imagen.${\displaystyle i:A\to B}$${\displaystyle h_{0}:B\to X}$${\displaystyle g_{t}:A\to X}$${\displaystyle g_{0}=h_{0}\circ i}$${\displaystyle h_{t}:B\to X}$${\displaystyle h_{t}\circ i=g_{t}}$

homotopía coherente

coherencia

Ver coherencia (teoría de homotopía)

grupo de cohomotopía

Para un espacio basado X , el conjunto de clases de homotopía se llama el n -ésimo grupo cohomotopy de X .${\displaystyle [X,S^{n}]}$

operación de cohomología

terminación

bordismo complejo

orientado al complejo

Una teoría de cohomología multiplicativa E tiene una orientación compleja si el mapa de restricción E ² ( C P ^∞ ) → E ² ( C P ¹ ) es sobreyectivo.

cono

El cono sobre un espacio X es . El cono reducido se obtiene del cilindro reducido colapsando la parte superior.${\displaystyle CX=X\times I/X\times \{0\}}$ ${\displaystyle X\wedge I_{+}}$

conectivo

Un espectro E es conectivo si para todos los enteros negativos q .${\displaystyle \pi _{q}E=0}$

espacio de configuración

constante

Un fajo constante en un espacio X es un fajo en X tal que para algún conjunto A y algunos mapa , el mapa naturales es biyectiva para cualquier x en X .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A\to {\mathcal {F}}(X)}$${\displaystyle A\to {\mathcal {F}}(X)\to {\mathcal {F}}_{x}}$

continuo

Cohomología continua .

espacio contráctil

Un espacio es contractible si el mapa de identidad en el espacio es homotópico al mapa constante.

cubierta

1. Un mapa p : Y → X es un mapa de cobertura o un mapa de cobertura si cada punto de x tiene una vecindad N que está cubierta uniformemente por p ; esto significa que la imagen previa de N es una unión disjunta de conjuntos abiertos, cada uno de los cuales se asigna a N de manera homeomórfica.

2. Tiene n hojas si cada fibra p ⁻¹ ( x ) tiene exactamente n elementos.

3. Es universal si Y simplemente está conectado.

4. Un morfismo de una cubierta es un mapa sobre X . En particular, un automorfismo de una cobertura p : Y → X (también llamado transformación de mazo ) es un mapa Y → Y sobre X que tiene inversa; es decir, un homeomorfismo sobre X .

5. A G -cubriendo es una cubierta que surge de una acción de grupo en un espacio de X por un grupo G , el mapa que cubre siendo el mapa cociente de X al espacio órbita X / G . La noción se utiliza para enunciar la propiedad universal: si X admite una cobertura universal (en particular conectada), entonces

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X,x_{0}),G)}$es el conjunto de clases de isomorfismo de revestimientos G.

En particular, si G es abeliano, entonces el lado izquierdo es (cf. cohomología no beliana ).${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X,x_{0}),G)=\operatorname {H} ^{1}(X;G)}$

taza de producto

Complejo CW

Un complejo CW es un espacio X equipado con una estructura CW; es decir, una filtración

${\displaystyle X^{0}\subset X^{1}\subset X^{2}\subset \cdots \subset X}$

tal que (1) X ⁰ es discreto y (2) X ⁿ se obtiene de X ^{n -1} conectando n- celdas.

homología cíclica

D

transformación de cubierta

Otro término para un automorfismo de una cobertura.

Cohomología Deligne-Beilinson

Cohomología Deligne-Beilinson

delooping

ciclo de degeneración

la licenciatura

E

Argumento de Eckmann-Hilton

El argumento de Eckmann-Hilton .

Dualidad Eckmann-Hilton

Espacios Eilenberg – MacLane

Dado un grupo abeliano π, los espacios de Eilenberg-MacLane se caracterizan por${\displaystyle K(\pi ,n)}$

${\displaystyle \pi _{q}K(\pi ,n)={\begin{cases}\pi &{\text{if }}q=n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$.

Axiomas de Eilenberg-Steenrod

Los axiomas de Eilenberg-Steenrod son el conjunto de axiomas que debe satisfacer cualquier teoría de cohomología (singular, celular, etc.). El debilitamiento de los axiomas (es decir, la eliminación del axioma de la dimensión) conduce a una teoría de la cohomología generalizada .

Teorema de Eilenberg-Zilber

E _n -álgebra

topología algebraica equivariante

La topología algebraica equivariante es el estudio de espacios con acción grupal (continua) .

exacto

Una secuencia de conjuntos puntiagudos es exacta si la imagen de f coincide con la imagen previa del punto de Z elegido .${\displaystyle X{\overset {f}{\to }}Y{\overset {g}{\to }}Z}$

excisión

El axioma de escisión para la homología dice: si y , entonces para cada q ,${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle {\overline {U}}\subset \operatorname {int} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{q}(X-U,A-U)\to \operatorname {H} _{q}(X,A)}$

es un isomorfismo.

par excisivo / tríada

F

homología de factorización

equivalencia fibra-homotopía

Dada D → B , E → B , un mapa ƒ: D → E sobre B es una equivalencia de fibra homotopy si es invertible arriba a lo largo homotopy B . El hecho básico es que si D → B , E → B son fibraciones, entonces una equivalencia de homotopía de D a E es una equivalencia de homotopía de fibra.

fibración

Un mapa p : E → B es una fibración si para cualquier homotopía dada y un mapa tal que , existe una homotopía tal que . (La propiedad anterior se llama propiedad de elevación de homotopía ). Un mapa de cobertura es un ejemplo básico de una fibración.${\displaystyle g_{t}:X\to B}$${\displaystyle h_{0}:X\to E}$${\displaystyle p\circ h_{0}=g_{0}}$${\displaystyle h_{t}:X\to E}$${\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}$

secuencia de fibración

Se dice que es una secuencia de fibración para significar que p es una fibración y que F es homotopía equivalente a la fibra de homotopía de p , con cierta comprensión de los puntos de base.${\displaystyle F\to X{\overset {p}{\to }}B}$

finitamente dominado

clase fundamental

grupo fundamental

El grupo fundamental de un espacio X con punto base x ₀ es el grupo de clases de homotopía de bucles en x ₀ . Es precisamente el primer grupo de homotopía de ( X , x ₀ ) y, por lo tanto, se denota por .${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$

grupoide fundamental

El groupoid fundamental de un espacio X es la categoría cuyos objetos son los puntos de X y cuyos morfismos x → y son las clases de homotopía de caminos de x a y ; así, el conjunto de todos los morfismos de un objeto x ₀ a sí mismo es, por definición, el grupo fundamental .${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$

libre

Sinónimo de sin base. Por ejemplo, el espacio de camino libre de un espacio X se refiere al espacio de todos los mapas de I a X ; es decir, mientras que el espacio de la trayectoria de un espacio basado X consiste en tal mapa que preserva el punto base (es decir, 0 va al punto base de X ).${\displaystyle X^{I}}$

Teorema de suspensión de Freudenthal

Para un espacio X sin base degenerada , el teorema de suspensión de Freudenthal dice: si X está conectado ( n -1), entonces el homomorfismo de suspensión

${\displaystyle \pi _{q}X\to \pi _{q+1}\Sigma X}$

es biyectiva para q <2 n - 1 y sobreyectiva si q = 2 n - 1.

G

Fibra G

A G-fibración con algunos monoid topológico G . Un ejemplo es la trayectoria de la fibración espacial de Moore .

Γ-espacio

teoría de la cohomología generalizada

Una teoría de cohomología generalizada es un funtor contravariante de la categoría de pares de espacios a la categoría de grupos abelianos que satisface todos los axiomas de Eilenberg-Steenrod excepto el axioma de dimensión.

conjetura de geometrización

conjetura de geometrización

género

finalización de grupo

grupal

Se dice que un espacio-H X es similar a un grupo o similar a un grupo si es un grupo ; es decir, X satisface los axiomas del grupo hasta la homotopía.${\displaystyle \pi _{0}X}$

Secuencia de gysin

H

h-cobordismo

h-cobordismo .

Teorema de Hilton-Milnor

El teorema de Hilton-Milnor .

Espacio H

Un espacio H es un espacio basado que es un magma unital hasta homotopía.

homólogo

Dos ciclos son homólogos si pertenecen a la misma clase de homología.

categoría de homotopía

Sea C una subcategoría de la categoría de todos los espacios. A continuación, la categoría homotopy de C es la categoría cuya clase de objetos es la misma que la clase de objetos de C , pero el conjunto de morfismos de un objeto x a un objeto y es el conjunto de las clases de homotopía de morfismos de x a y en C . Por ejemplo, un mapa es una equivalencia de homotopía si y solo si es un isomorfismo en la categoría de homotopía.

homotopia colimit

homotopía sobre un espacio B

A homotopy h _t tal que para cada fijo t , h _t es un mapa sobre B .

equivalencia de homotopía

1. Un mapa ƒ: X → Y es una equivalencia de homotopía si es invertible hasta homotopía; Es decir, no existe un mapa g: Y → X tal que g ∘ ƒ es decir homotopic a º mapa de identidad en X y ƒ ∘ g es homotopic al mapa de identidad en Y .

2. Se dice que dos espacios son equivalentes de homotopía si hay una equivalencia de homotopía entre los dos. Por ejemplo, por definición, un espacio es contráctil si es homotopía equivalente a un espacio puntual .

teorema de escisión de homotopía

El teorema de la escisión de homotopía sustituye al fracaso de la escisión de los grupos de homotopía.

fibra homotopia

La fibra homotopy de un mapa ƒ basado: X → Y , denotado por F ƒ, es la retirada de a lo largo de f .${\displaystyle PY\to Y,\,\chi \mapsto \chi (1)}$

producto de fibra homotopia

Un producto de fibra es un tipo particular de límite . Reemplazando este límite lim con un límite de homotopía holim, se obtiene un producto de fibra de homotopía .

grupo de homotopía

1. Para un espacio X basado , sea , el conjunto de clases de homotopía de mapas basados. Entonces es el conjunto de componentes de la ruta-conectado de X , es el grupo fundamental de X y son los (altos) n -ésimos grupos de homotopía de X .${\displaystyle \pi _{n}X=[S^{n},X]}$${\displaystyle \pi _{0}X}$${\displaystyle \pi _{1}X}$${\displaystyle \pi _{n}X,\,n\geq 2}$

2. Para los espacios de base , el grupo homotopy relativa se define como del espacio de caminos que todo inicio en el punto de base de X y en algún lugar final en A . De manera equivalente, es el de la fibra homotopía de .${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$${\displaystyle \pi _{n-1}}$${\displaystyle \pi _{n-1}}$${\displaystyle A\hookrightarrow X}$

3. Si E es un espectro, entonces${\displaystyle \pi _{k}E=\varinjlim _{n}\pi _{k+n}E_{n}.}$

4. Si X es un espacio basado, entonces el k -ésimo grupo de homotopía estable de X es . En otras palabras, es el k -ésimo grupo homotopy del espectro suspensión de X .${\displaystyle \pi _{k}^{s}X=\varinjlim _{n}\pi _{k+n}\Sigma ^{n}X}$

cociente de homotopía

Si G es un grupo de Lie que actúa sobre un colector de X , entonces el espacio cociente se llama el cociente homotopy (o construcción Borel) de X por G , donde EG es el paquete universal de G .${\displaystyle (EG\times X)/G}$

secuencia espectral de homotopía

esfera de homotopía

Hopf

1.   Heinz Hopf .

2.   Invariante de Hopf .

3. El teorema del índice de Hopf .

4.   Construcción Hopf .

Hurewicz

El teorema de Hurewicz establece una relación entre grupos de homotopía y grupos de homología.

Yo

espacio de bucle infinito

máquina espacial de bucle infinito

Máquina espacial de bucle infinito .

telescopio de mapeo infinito

integración a lo largo de la fibra

isotopía

J

J-homomorfismo

Ver J-homomorfismo .

entrar

La unión de espacios basados X , Y es${\displaystyle X\star Y=\Sigma (X\wedge Y).}$

K

k -invariante

Complejo Kan

Ver complejo Kan .

Invariante de Kervaire

El invariante de Kervaire .

Dualidad Koszul

Dualidad Koszul .

Fórmula de Künneth

L

Anillo Lazard

El anillo de Lazard L es el anillo conmutativo (enorme) junto con la ley de grupo formal ƒ que es universal entre todas las leyes de grupo formales en el sentido de que cualquier ley de grupo formal g sobre un anillo conmutativo R se obtiene mediante un homomorfismo de anillo L → R mapeo de ƒ a g . Según el teorema de Quillen, también es el anillo de coeficientes del bordismo complejo MU. La especificación de L se denomina espacio de módulos de las leyes de grupo formales .

Teorema del punto fijo de Lefschetz

El teorema del punto fijo de Lefschetz dice: dado un complejo simplicial finito K y su realización geométrica X , si un mapa no tiene un punto fijo, entonces el número de Lefschetz de f ; es decir,${\displaystyle f:X\to X}$

${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }(-1)^{q}\operatorname {tr} (f_{*}:\operatorname {H} _{q}(X)\to \operatorname {H} _{q}(X))}$

es cero. Por ejemplo, implica el teorema del punto fijo de Brouwer ya que el número de Lefschetz de es, a medida que desaparecen las homologías superiores, uno.${\displaystyle f:D^{n}\to D^{n}}$

espacio de la lente

El espacio de la lente es el espacio del cociente donde está el grupo de p -ésimas raíces de la unidad que actúan sobre la esfera unitaria por .${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ^{n}||z|=1\}/\mu _{p}}$${\displaystyle \mu _{p}}$${\displaystyle \zeta \cdot (z_{1},\dots ,z_{n})=(\zeta z_{1},\dots ,\zeta z_{n})}$

Secuencia espectral de Leray

coeficiente local

1. Un módulo sobre el anillo de grupo para algún espacio B ; en otras palabras, un grupo abeliano junto con un homomorfismo .${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}B]}$${\displaystyle \pi _{1}B\to \operatorname {Aut} (A)}$

2. El sistema de coeficientes locales sobre un espacio basado B con un grupo abeliano A es un haz de fibras sobre B con fibra A discreta . Si B admite una cobertura universal , entonces este significado coincide con el de 1. en el sentido: todo sistema de coeficientes locales sobre B puede darse como el paquete asociado .${\displaystyle {\widetilde {B}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {B}}\times _{\pi _{1}B}A}$

esfera local

La localización de una esfera en algún número primo.

localización

gavilla localmente constante

Una gavilla localmente constante en un espacio X es una gavilla tal que cada punto de X tiene una vecindad abierta en la que la gavilla es constante .

espacio de bucle

El espacio de bucle de un espacio basado X es el espacio de todos los bucles de inicio y final en el punto de base de X .${\displaystyle \Omega X}$

M

Teorema de Madsen-Weiss

cartografía

1.  

El cono de la cartografía de un mapa ƒ: X → Y se obtiene por pegado el cono sobre X a Y .

El cono de mapeo (o cofibra) de un mapa ƒ: X → Y es .${\displaystyle C_{f}=Y\cup _{f}CX}$

2. El cilindro de mapeo de un mapa ƒ: X → Y es . Nota: .${\displaystyle M_{f}=Y\cup _{f}(X\times I)}$${\displaystyle C_{f}=M_{f}/(X\times \{0\})}$

3. Las versiones reducidas de lo anterior se obtienen utilizando cono reducido y cilindro reducido.

4. El camino de mapeo espacial P _p de un mapa p : E → B es la retirada de a lo largo de p . Si p es fibración, entonces el mapa natural E → P _p es una equivalencia fibra-homotopía ; así, en términos generales, se puede reemplazar E por el espacio de la trayectoria de mapeo sin cambiar el tipo de homotopía de la fibra.${\displaystyle B^{I}\to B}$

Secuencia de Mayer-Vietoris

categoría de modelo

Una presentación de una categoría ∞ . ^[4] Véase también la categoría de modelo .

Espacio de Moore

multiplicativo

Una teoría de cohomología generalizada E es multiplicativa si E ^* ( X ) es un anillo graduado . Por ejemplo, la teoría de cohomología ordinaria y la teoría K compleja son multiplicativas (de hecho, las teorías de cohomología definidas por anillos E ∞ son multiplicativas).

N

n- celda

Otro término para un disco n .

n -conectado

Un espacio X basado en n está conectado si para todos los números enteros q ≤ n . Por ejemplo, "1-conectado" es lo mismo que " simplemente conectado ".${\displaystyle \pi _{q}X=0}$

n -equivalente

Par NDR

Un par de espacios se dice que es una NDR de par (= deformación barrio par de retracción) si hay un mapa y una homotopy tal que , , y . Si A es un subespacio cerrado de X , entonces el par es un par NDR si y solo si es una cofibración .${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle u:X\to I}$${\displaystyle h_{t}:X\to X}$${\displaystyle A=u^{-1}(0)}$${\displaystyle h_{0}=\operatorname {id} _{X}}$${\displaystyle h_{t}|_{A}=\operatorname {id} _{A}}$${\displaystyle h_{1}(\{x|u(x)<1\})\subset A}$
${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle A\hookrightarrow X}$

nilpotente

1.   espacio nilpotente ; por ejemplo, un espacio simplemente conectado es nulo.

2. El teorema de la nilpotente .

no beliano

1.   cohomología no beliana

2.   topología algebraica no beliana

normalizado

Dado un grupo simplicial G , el complejo de cadena normalizado NG de G viene dado por con el diferencial n -ésimo dado por ; intuitivamente, uno arroja cadenas degeneradas. ^[5] También se le llama complejo de Moore .${\displaystyle (NG)_{n}=\cap _{1}^{\infty }\operatorname {ker} d_{i}^{n}}$${\displaystyle d_{0}^{n}}$

O

ciclo de obstrucción

teoría de la obstrucción

La teoría de la obstrucción es la colección de construcciones y cálculos que indican cuándo algún mapa en una subvariedad (subcomplejo) puede o no puede extenderse a la variedad completa. Estos suelen involucrar la torre Postnikov , matar grupos de homotopía , ciclomotores de obstrucción , etc.

de tipo finito

Un complejo CW es de tipo finito si solo hay un número finito de celdas en cada dimensión.

operado

El acrónimo de "operaciones" y "mónada". Ver operad .

categoría de órbita

orientación

1. La cubierta de orientación (o cubierta doble de orientación) de un colector es una cubierta de dos hojas de modo que cada fibra sobre x corresponde a dos formas diferentes de orientar una vecindad de x .

2. Una orientación de un colector es una sección de una cubierta de orientación; es decir, una elección consistente de un punto en cada fibra.

3. Un carácter de orientación (también llamado la primera clase Stiefel-Whitney ) es un homomorfismo de grupo que corresponde a una cobertura de orientación de una variedad X (cf. #cubrimiento ).${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})\to \{\pm 1\}}$

4. Vea también la orientación de un paquete de vectores así como la orientación de la gavilla .

P

teoría de la homotopía p -ádica

La teoría de la homotopía p -ádica .

clase de ruta

Una clase de equivalencia de caminos (dos caminos son equivalentes si son homotópicos entre sí).

levantamiento de camino

Una función de elevación de ruta para un mapa p : E → B es una sección de donde está el espacio de ruta de mapeo de p . Por ejemplo, una cubierta es una fibra con una función de elevación de trayectoria única. Por consideración formal, un mapa es una fibración si y solo si hay una función de elevación de trayectoria para él.${\displaystyle E^{I}\to P_{p}}$${\displaystyle P_{p}}$

espacio de camino

El espacio camino de un espacio basado X es , el espacio de mapas basados, donde el punto de base de I es 0. Dicho de otro modo, es la fibra (la teoría de conjuntos) de por encima del punto de base de X . La proyección se denomina fibración del espacio de trayectoria , cuya fibra sobre el punto base de X es el espacio de bucle . Véase también el mapeo espacial ruta .${\displaystyle PX=\operatorname {Map} (I,X)}$${\displaystyle X^{I}\to X,\,\chi \mapsto \chi (0)}$${\displaystyle PX\to X,\,\chi \mapsto \chi (1)}$${\displaystyle \Omega X}$

mapa fantasma

Poincaré

1. El teorema de la dualidad de Poincaré dice: dada una variedad M de dimensión ny un grupo abeliano A , hay un isomorfismo natural

${\displaystyle \operatorname {H} _{c}^{*}(M;A)\simeq \operatorname {H} _{n-*}(M;A)}$.

2.   Conjetura de Poincaré

Construcción Pontrjagin – Thom

Sistema Postnikov

Un sistema de Postnikov es una secuencia de fibraciones, de modo que todas las variedades precedentes tienen grupos homotópicos que desaparecen por debajo de una dimensión determinada.

fibración principal

Suele ser sinónimo de G -fibration .

profinito

teoría de la homotopía profinita ; estudia espacios lucrativos .

apropiadamente discontinuo

No es un término particularmente preciso. Pero podría significar, por ejemplo, que G es discreto y cada punto del espacio G tiene una vecindad V tal que para cada g en G que no es el elemento de identidad, gV interseca a V en un número finito de puntos.

echar para atrás

Dado un mapa p : E → B , el retroceso de p a lo largo de ƒ : X → B es el espacio (sucintamente es el ecualizador de p y f ). Es un espacio sobre X a través de una proyección.${\displaystyle f^{*}E=\{(e,x)\in E\times X|p(e)=f(x)\}}$

Secuencia de marionetas

La secuencia Puppe se refiere a cualquiera de las secuencias

${\displaystyle X{\overset {f}{\to }}Y\to C_{f}\to \Sigma X\to \Sigma Y\to \cdots ,}$

${\displaystyle \cdots \to \Omega X\to \Omega Y\to F_{f}\to X{\overset {f}{\to }}Y}$

donde se encuentran el cofibra homotopia y la fibra homotopia de f .${\displaystyle C_{f},F_{f}}$

expulsar

Dado y un mapa , el empuje de X y B a lo largo de f es${\displaystyle A\subset B}$${\displaystyle f:A\to X}$

${\displaystyle X\cup _{f}B=X\sqcup B/(a\sim f(a))}$;

es decir, X y B están pegados entre A y f . El mapa f generalmente se denomina mapa adjunto.

El ejemplo importante es cuando B = D ⁿ , A = S ^{n -1} ; en ese caso, la formación de un pushout tales se llama fijación de un n células beta (es decir, un n -disk) a X .

Q

cuasifibración

Una cuasifibración es un mapa en el que las fibras son homotopía equivalentes entre sí.

Quillen

1.   Daniel Quillen

2. El teorema de Quillen dice que es el anillo de Lazard .${\displaystyle \pi _{*}MU}$

R

racional

1. La teoría de la homotopía racional .

2. La racionalización de un espacio X es, aproximadamente, la localización de X en cero. Más precisamente, X ₀ junto con j : X → X ₀ es una racionalización de X si el mapa inducido por j es un isomorfismo de espacios vectoriales y .${\displaystyle \pi _{*}X\otimes \mathbb {Q} \to \pi _{*}X_{0}\otimes \mathbb {Q} }$${\displaystyle \pi _{*}X_{0}\otimes \mathbb {Q} \simeq \pi _{*}X_{0}}$

3. El tipo de homotopía racional de X es el tipo de homotopía débil de X ₀ .

regulador

1.   Regulador Borel .

2.   Regulador Beilinson .

Reidemeister

Torsión Reidemeister .

reducido

La suspensión reducida de un espacio X basado es el producto estrella . Está relacionado con el functor de bucle por dónde está el espacio de bucle.${\displaystyle \Sigma X=X\wedge S^{1}}$${\displaystyle \operatorname {Map} (\Sigma X,Y)=\operatorname {Map} (X,\Omega Y)}$${\displaystyle \Omega Y=\operatorname {Map} (S^{1},Y)}$

espectro de anillo

Un espectro de anillo es un espectro que satisface los axiomas del anillo, ya sea en la nariz o hasta la homotopía. Por ejemplo, una teoría K compleja es un espectro de anillo.

S

Producto Samelson

Serre

1.   Jean-Pierre Serre .

2.   Clase de Serre .

3.   Secuencia espectral de Serre .

sencillo

equivalencia de homotopía simple

Un mapa ƒ: X → Y entre complejos simpliciales finitos (por ejemplo, variedades) es una equivalencia de homotopía simple si es homotópico a una composición de un número finito de expansiones elementales y colapsos elementales . Una equivalencia de homotopía es una equivalencia de homotopía simple si y solo si su torsión de Whitehead desaparece.

aproximación simplicial

Ver teorema de aproximación simplicial .

complejo simplicial

Ver complejo simplicial ; el ejemplo básico es una triangulación de una variedad.

homología simplicial

Una homología simplicial es la homología (canónica) de un complejo simplicial. Tenga en cuenta que se aplica a los complejos simpliciales y no a los espacios; cf. # homología singular .

invariante de firma

singular

1. Dado un espacio X y un grupo abeliano π, el grupo de homología singular de X con coeficientes en π es

${\displaystyle \operatorname {H} _{*}(X;\pi )=\operatorname {H} _{*}(C_{*}(X)\otimes \pi )}$

donde es el complejo de cadena singular de X ; es decir, el n pieza grado-ésimo es el grupo abeliano libre generado por todos los mapas de la norma n -simplex a X . Una homología singular es un caso especial de homología simplicial ; de hecho, para cada espacio X , está el complejo simplicial singular de X ^[6] cuya homología es la homología singular de X .${\displaystyle C_{*}(X)}$${\displaystyle \triangle ^{n}\to X}$

2. El functor de simplices singulares es el functor de la categoría de todos los espacios a la categoría de conjuntos simpliciales, que es el adjunto derecho al functor de realización geométrica .${\displaystyle \mathbf {Top} \to s\mathbf {Set} }$

3. El complejo simplicial singular de un espacio X es la cadena normalizado complejo del simplex singular de X .

producto inclinado

argumento de objeto pequeño

aplastar producto

El producto de aplastamiento de los espacios basados X , Y es . Se caracteriza por la relación adjunta${\displaystyle X\wedge Y=X\times Y/X\vee Y}$

${\displaystyle \operatorname {Map} (X\wedge Y,Z)=\operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (Y,Z))}$.

Spanier – Whitehead

La dualidad Spanier-Whitehead .

espectro

Aproximadamente una secuencia de espacios junto con los mapas (llamados mapas de estructura) entre los términos consecutivos; ver espectro (topología) .

paquete de esferas

Un haz de esferas es un haz de fibras cuyas fibras son esferas.

espectro de esfera

El espectro de esferas es un espectro que consta de una secuencia de esferas junto con los mapas entre las esferas dados por las suspensiones. En resumen, es el espectro de suspensión de .${\displaystyle S^{0},S^{1},S^{2},S^{3},\dots }$${\displaystyle S^{0}}$

grupo de homotopía estable

Consulte el grupo #homotopy .

Homología Steenrod

Homología Steenrod .

Operación Steenrod

Sullivan

1.   Dennis Sullivan .

2. La conjetura de Sullivan .

3.   Cálculos infinitesimales en topología , 1977- introduce la teoría de la homotopía racional (junto con el artículo de Quillen).

4. El álgebra de Sullivan en la teoría de la homotopía racional.

espectro de suspensión

El espectro de suspensión de un espacio X basado es el espectro dado por .${\displaystyle X_{n}=\Sigma ^{n}X}$

espectro simétrico

Ver espectro simétrico .

T

Thom

1.   René Thom .

2. Si E es un haz vector en un espacio paracompact X , entonces el espacio Thom de E se obtiene sustituyendo primero cada fibra por su compactación y luego el colapso de la base X .${\displaystyle {\text{Th}}(E)}$

3. El isomorfismo de Thom dice: para cada conjunto de vectores orientables E de rango n en una variedad X , la elección de una orientación (la clase de Thom de E ) induce un isomorfismo

${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {H} }}^{*+n}({\text{Th}}(E);\mathbb {Z} )\simeq \operatorname {H} ^{*}(X;\mathbb {Z} )}$.

homología quiral topológica

transferir

transgresión

U

coeficiente universal

El teorema del coeficiente universal .

hasta homotopía

Una declaración se mantiene en la categoría de homotopía en oposición a la categoría de espacios.

V

van Kampen

El teorema de van Kampen dice: si un espacio X está conectado por una trayectoria y si x ₀ es un punto en X , entonces

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\varinjlim \pi _{1}(U,x_{0})}$

donde el colimit corre sobre alguna cubierta abierta de X que consiste en subconjuntos abiertos conectados por caminos que contienen x _{0 de} manera que la cubierta está cerrada bajo intersecciones finitas.

W

Construcción en S de Waldhausen

Construcción en S de Waldhausen .

Obstrucción de la finitud de la pared

equivalencia débil

Un mapa ƒ: X → Y de espacios basados ​​es una equivalencia débil si para cada q , el mapa inducido es biyectivo.${\displaystyle f_{*}:\pi _{q}X\to \pi _{q}Y}$

cuña

Para los espacios basados ​​en X , Y , el producto de la cuña de X e Y es el coproducto de X e Y ; concretamente, se obtiene tomando su unión disjunta y luego identificando los respectivos puntos de base.${\displaystyle X\wedge Y}$

bien puntiagudo

Un espacio basado está bien apuntado (o basado no degenerado) si la inclusión del punto base es una cofibración.

Whitehead

1.   JHC Whitehead .

2.   El teorema de Whitehead dice que para los complejos CW , la equivalencia de homotopía es lo mismo que la equivalencia débil .

3.   Grupo de Whitehead .

4.   Producto de cabeza blanca .

número de bobinado

Notas

1. Sea r , s la restricción y la sección. Para cada f in, defina. Entonces.${\displaystyle \operatorname {Top} (D^{n+1})}$${\displaystyle h_{t}(f)(x)=tf(x/t),|x|\leq t,h_{t}(f)(x)=|x|f(x/|x|),|x|>t}$${\displaystyle h_{t}:s\circ r\sim \operatorname {id} }$
2. A pesar del nombre, puede que no sea una variedad algebraica en sentido estricto; por ejemplo, puede que no sea irreductible. Además, sin alguna suposición de finitud en G , es solo un esquema.
3. Hatcher , Cap. 4. H.
4. ¿Cómo pensar en las categorías de modelos?
5. https://ncatlab.org/nlab/show/Moore+complex
6. http://ncatlab.org/nlab/show/singular+simplicial+complex

Referencias

• Adams, JF (1974). Homotopía estable y homología generalizada . Conferencias de Chicago en Matemáticas. Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 978-0-226-00524-9.
• Adams, JF (1978). Espacios de bucle infinito . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-08206-5.
• Bott, Raoul ; Tu, Loring (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Springer, ISBN 0-387-90613-4
• Bousfield, AK; Kan, DM (1987), Homotopy Limits, Terminaciones y Localizaciones , Lecture Notes in Mathematics, 304 , Springer, ISBN 9783540061052
• Davis, James F .; Kirk, Paul. "Notas de la conferencia en topología algebraica" (PDF) .
• Fulton, William (2013). Topología algebraica: un primer curso . Saltador. ISBN 978-1-4612-4180-5.
• Hatcher, Allen. "Topología algebraica" .
• Hess, Kathryn (28 de abril de 2006). "Teoría de la homotopía racional: una breve introducción" . arXiv : matemáticas / 0604626 . Bibcode : 2006math ...... 4626H .
• "topología algebraica" (PDF) . Otoño de 2010. Conferencias impartidas por Michael Hopkins y Notas de Akhil Mathew, Harvard.
• Lurie, J. (2015). "Teoría K algebraica y topología múltiple" . Matemáticas 281 . Universidad Harvard.
• Lurie, J. (2011). "Teoría de la homotopía cromática" . 252x . Universidad Harvard.
• Mayo, J. "Un curso conciso en topología algebraica" (PDF) .
• May, J .; Ponto, K. "Topología algebraica más concisa: categorías de localización, finalización y modelo" (PDF) .
• Mayo; Sigurdsson. "Teoría de la homotopía parametrizada" (PDF) . (a pesar del título, contiene una cantidad significativa de resultados generales).
• Sullivan, Dennis . "Topología geométrica" (PDF) . las notas del MIT de 1970
• Whitehead, George William (1978). Elementos de la teoría de la homotopía . Textos de Posgrado en Matemáticas. 61 (3ª ed.). Springer-Verlag. págs. xxi + 744. ISBN 978-0-387-90336-1. Señor  0516508 .
• Wickelgren, Kirsten Graham. "8803 Teoría de la homotopía estable" .

Lectura adicional

• José I. Burgos Gil, Los reguladores de Beilinson y Borel

Enlaces externos

• Topología algebraica: una guía de literatura