En topología , un espacio generado de forma compacta (o espacio k ) es un espacio topológico cuya topología es coherente con la familia de todos los subespacios compactos . Específicamente, un espacio topológico X se genera de forma compacta si cumple la siguiente condición:
- Un subespacio A está cerrado en X si y sólo si A ∩ K está cerrado en K para todos los subespacios compactos K ⊆ X .
De manera equivalente, se puede reemplazar cerrado por abierto en esta definición. Si X es coherente con cualquier cobertura de subespacios compactos en el sentido anterior, entonces es, de hecho, coherente con todos los subespacios compactos.
Un espacio Hausdorff generado de forma compacta es un espacio generado de forma compacta que también es Hausdorff . Al igual que muchas condiciones de compacidad, a menudo se supone que los espacios generados de forma compacta son Hausdorff o débilmente Hausdorff .
Motivación
Los espacios generados de forma compacta se llamaban originalmente k-espacios, después de la palabra alemana kompakt . Fueron estudiados por Hurewicz y se pueden encontrar en General Topology by Kelley, Topology by Dugundji, Rational Homotopy Theory por Félix, Halperin y Thomas.
La motivación para su estudio más profundo provino en la década de 1960 de las conocidas deficiencias de la categoría habitual de espacios topológicos . Esta no es una categoría cerrada cartesiana , el producto cartesiano habitual de los mapas de identificación no siempre es un mapa de identificación, y el producto habitual de los complejos CW no necesita ser un complejo CW. [1] Por el contrario, la categoría de conjuntos simpliciales tenía muchas propiedades convenientes, incluido ser cartesiano cerrado. La historia del estudio de la reparación de esta situación se da en el artículo del n Lab sobre categorías convenientes de espacios .
La primera sugerencia (1962) para remediar esta situación fue restringirse a la subcategoría completa de espacios de Hausdorff generados de forma compacta, que de hecho es cerrada cartesiana. Estas ideas se extienden sobre el teorema de la dualidad de Vries . A continuación se da una definición del objeto exponencial . Otra sugerencia (1964) fue considerar los espacios habituales de Hausdorff pero usar funciones continuas en subconjuntos compactos.
Estas ideas se pueden generalizar al caso que no es de Hausdorff. [2] Esto es útil ya que los espacios de identificación de los espacios de Hausdorff no necesitan ser Hausdorff. [3]
En la topología algebraica de hoy en día , esta propiedad generalmente se combina con la propiedad débil de Hausdorff , de modo que se trabaja en la categoría de espacios débiles de Hausdorff generados de forma compacta (WHCG).
Ejemplos y contraejemplos
La mayoría de los espacios topológicos comúnmente estudiados en matemáticas se generan de forma compacta.
- Cada espacio compacto de Hausdorff se genera de forma compacta.
- Cada espacio localmente compacto de Hausdorff se genera de forma compacta.
- Cada primer espacio contable se genera de forma compacta.
- Las variedades topológicas son Hausdorff localmente compactas y, por lo tanto, Hausdorff de generación compacta.
- Los espacios métricos son Hausdorff contables en primer lugar y, por lo tanto, se generan de forma compacta.
- Cada complejo CW se genera de forma compacta Hausdorff.
Entre los ejemplos de espacios topológicos que no se pueden generar de forma compacta se incluyen los siguientes.
- El espacio , donde el primer factor usa la topología del subespacio , el segundo factor es el espacio del cociente de R donde todos los números naturales se identifican con un solo punto y el producto usa la topología del producto .
- Si es un ultrafiltro no principal en un conjunto infinito, la topología inducida tiene la propiedad de que todo conjunto compacto es finito, y no se genera de forma compacta.
Propiedades
Denotamos CGTop la subcategoría completa de Top con objetos los espacios generados de forma compacta, y CGHaus la subcategoría completa de CGTop con objetos los espacios de Hausdorff.
Dado cualquier espacio topológico X podemos definir una topología (posiblemente) más fina en X que se genera de forma compacta. Sea { K α } denotan la familia de subconjuntos compactos de X . Definimos la nueva topología en X declarando que un subconjunto A está cerrado si y solo si A ∩ K α está cerrado en K α para cada α. Denote este nuevo espacio con X c . Se puede demostrar que los subconjuntos compactos de X c y X coinciden, y que las topologías inducidas en conjuntos compactos son las mismas. De ello se deduce que X c se genera de forma compacta. Si X se generó de forma compacta para empezar, entonces X c = X, de lo contrario, la topología en X c es estrictamente más fina que X (es decir, hay más conjuntos abiertos).
Esta construcción es funtorial . El funtor de Top a CGTop que se lleva a X a X c es adjunto derecho a la funtor inclusión CGTop → Top .
La continuidad de un mapa definido en un espacio generado de forma compacta X puede ser determinado únicamente por mirar los subconjuntos compactos de X . Específicamente, una función f : X → Y es continua si y sólo si es continuo cuando restringido a cada subconjunto compacto K ⊆ X .
Si X e Y son dos espacios generados de forma compacta, es posible que el producto X × Y no se genere de forma compacta (lo será si al menos uno de los factores es localmente compacto). Por lo tanto, cuando se trabaja en categorías de espacios generados de forma compacta es necesario definir el producto como ( X × Y ) c .
El objeto exponencial en CGHaus viene dado por ( Y X ) c donde Y X es el espacio de mapas continuos de X a Y con la topología compacta-abierta .
Estas ideas se pueden generalizar al caso que no es de Hausdorff. [2] Esto es útil ya que los espacios de identificación de los espacios de Hausdorff no necesitan ser Hausdorff.
Ver también
- Topología compacta abierta
- Espacio generado contablemente
- Complejo CW
- Espacio finamente generado
- Espacio K (análisis funcional)
- Débil espacio de Hausdorff
Referencias
- ^ Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica (PDF) . (Ver el Apéndice)
- ^ a b Brown, Ronald (2006). Topología y Groupoids . Charleston, Carolina del Sur: Booksurge. ISBN 1-4196-2722-8. (Ver sección 5.9)
- ^ PI Booth y J. Tillotson, " Categorías convenientes y cerradas monoidal, cerradas cartesianas de espacios topológicos ", Pacific Journal of Mathematics , 88 (1980) pp.33-53.
Descripción general
- Espacios generados modo compacto - contiene un excelente catálogo de propiedades y construcciones con espacios generados de forma compacta
- Espacio topológico generado de forma compacta en nLab
- Categoría conveniente de espacios topológicos en nLab
Otro
- Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas 5 (2ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.
- Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.
- J. Peter May , Un curso conciso en topología algebraica , (1999) Chicago Lectures in Mathematics ISBN 0-226-51183-9 (consulte el capítulo 5.)
- Strickland, Neil P. (2009). "La categoría de los espacios CGWH" ( PDF ) .