Esta es una línea de tiempo de variedades , uno de los principales conceptos geométricos de las matemáticas. Para obtener más antecedentes, consulte la historia de variedades y variedades .
Fondo
Las variedades en las matemáticas contemporáneas son de varios tipos. Éstas incluyen:
- variedades suaves , que son básicas en cálculo en varias variables, análisis matemático y geometría diferencial ;
- colectores lineales por partes ;
- variedades topológicas .
También hay clases relacionadas, como las variedades de homología y las orbifolds , que se asemejan a las variedades. Se necesitó una generación para que surgiera la claridad, después del trabajo inicial de Henri Poincaré , sobre las definiciones fundamentales; y una generación más para discriminar más exactamente entre las tres clases principales. La topología de baja dimensión (es decir, las dimensiones 3 y 4, en la práctica) resultó ser más resistente que la dimensión superior, al aclarar el legado de Poincaré. Los desarrollos posteriores trajeron nuevas ideas geométricas, conceptos de la teoría cuántica de campos y un uso intensivo de la teoría de categorías.
Los participantes en la primera fase de axiomatización fueron influenciados por David Hilbert : con los axiomas de Hilbert como ejemplares, por el tercer problema de Hilbert resuelto por Dehn, uno de los actores, por el problema decimoquinto de Hilbert a partir de las necesidades de la geometría del siglo XIX. [ aclaración necesaria ] El tema de las variedades es una hebra común a la topología algebraica , la topología diferencial y la topología geométrica .
Cronología hasta 1900 y Henri Poincaré
Año | Colaboradores | Evento |
---|---|---|
siglo 18 | Leonhard Euler | El teorema de Euler sobre poliedros "triangulando" la 2-esfera. La subdivisión de un polígono convexo de n lados en n triángulos, mediante cualquier punto interno, suma n aristas, un vértice y n - 1 caras, conservando el resultado. Entonces, el caso de las triangulaciones propiamente dichas implica el resultado general. |
1820–3 | János Bolyai | Desarrolla geometría no euclidiana , en particular el plano hiperbólico . |
1822 | Jean-Victor Pon | Reconstruye la geometría proyectiva real , incluido el plano proyectivo real . [1] |
c.1825 | Joseph Diez Gergonne , Jean-Victor Pon | Propiedades geométricas del plano proyectivo complejo . [2] |
1840 | Hermann Grassmann | Espacios lineales generales n -dimensionales. |
1848 | Carl Friedrich Gauss Pierre Ossian Capó | Teorema de Gauss-Bonnet para la geometría diferencial de superficies cerradas. |
1851 | Bernhard Riemann | Introducción de la superficie de Riemann en la teoría de la continuación analítica . [3] Las superficies de Riemann son variedades complejas de dimensión 1, en este escenario presentadas como espacios de cobertura ramificados de la esfera de Riemann (la línea proyectiva compleja ). |
1854 | Bernhard Riemann | Las métricas de Riemann dan una idea de la geometría intrínseca de las variedades de cualquier dimensión. |
1861 | Resultado del folclore desde c.1850 | Primera publicación convencional del teorema de Kelvin-Stokes , en tres dimensiones, relacionando integrales sobre un volumen con aquellas en su límite. |
1870 | Sophus Lie | Se desarrolla el concepto de grupo de Lie utilizando fórmulas locales. [4] |
1872 | Felix Klein | El programa Erlangen de Klein pone énfasis en los espacios homogéneos para los grupos clásicos , como una clase de variedades fundamentales para la geometría. |
más tarde en la década de 1870 | Ulisse Dini | Dini desarrolla el teorema de la función implícita , la herramienta básica para construir variedades localmente como conjuntos cero de funciones suaves . [5] |
desde 1890 | Élie Cartan | Formulación de la mecánica hamiltoniana en términos del paquete cotangente de una variedad, el espacio de configuración . [6] |
1894 | Henri Poincaré | Grupo fundamental de un espacio topológico. La conjetura de Poincaré ahora se puede formular. |
1895 | Henri Poincaré | Homología simplicial . |
1895 | Henri Poincaré | Trabajo fundamental Análisis situs , inicio de la topología algebraica . La forma básica de la dualidad de Poincaré para una variedad orientable (compacta) se formula como la simetría central de los números de Betti . [7] |
1900 hasta 1920
Año | Colaboradores | Evento |
---|---|---|
1900 | David Hilbert | El quinto problema de Hilbert planteaba la cuestión de la caracterización de los grupos de Lie entre los grupos de transformación , una cuestión que se resolvió parcialmente en la década de 1950. El decimoquinto problema de Hilbert requería un enfoque riguroso del cálculo de Schubert , una rama de la teoría de la intersección que tiene lugar en las complejas variedades de Grassmann . |
1902 | David Hilbert | Axiomatización tentativa ( los espacios topológicos aún no están definidos) de variedades bidimensionales. [8] |
1905 | Max Dehn | Como conjetura, las ecuaciones de Dehn-Somerville relacionan variedades numéricamente trianguladas y politopos simpliciales . [9] |
1907 | Henri Poincaré, Paul Koebe | El teorema de uniformización para superficies de Riemann simplemente conectadas . |
1907 | Max Dehn, Poul Heegaard | El artículo de estudio Analysis Situs en la enciclopedia de Klein da la primera prueba de la clasificación de superficies, condicionada a la existencia de una triangulación, y sienta las bases de la topología combinatoria . [10] [11] [12] El trabajo también contenía una definición combinatoria de "variedad topológica", un tema en un flujo de definiciones hasta la década de 1930. [13] |
1908 | Heinrich Franz Friedrich Tietze | Habilitationschrift para la Universidad de Viena, propone otra definición tentativa, por medios combinatorios, de "variedad topológica". [13] [14] [15] |
1908 | Ernst Steinitz , Tietze | La Hauptvermutung , una conjetura sobre la existencia de un refinamiento común de dos triangulaciones. Este fue un problema abierto, para múltiples, hasta 1961. |
1910 | LEJ Brouwer | El teorema de Brouwer sobre la invariancia de dominio tiene el corolario de que una variedad conectada no vacía tiene una dimensión definida. Este resultado había sido un problema abierto durante tres décadas. [16] En el mismo año, Brouwer da el primer ejemplo de un grupo topológico que no es un grupo de Lie . [17] |
1912 | LEJ Brouwer | Brouwer publica sobre el grado de un mapeo continuo , presagiando el concepto de clase fundamental para variedades orientables . [18] [19] |
1913 | Hermann Weyl | Die Idee der Riemannschen Fläche da una definición de modelo de la idea de variedad, en el caso complejo unidimensional. |
1915 | Oswald Veblen | El "método de corte", un enfoque combinatorio de superficies, presentado en un seminario de Princeton. Se utiliza para la prueba de 1921 de la clasificación de superficies de Henry Roy Brahana . [20] |
1920 a los axiomas de 1945 para la homología
Año | Colaboradores | Evento |
---|---|---|
1923 | Hermann Künneth | Fórmula de Künneth para homología de producto de espacios. |
1926 | Hellmuth Kneser | Define "variedad topológica" como un segundo espacio de Hausdorff contable, con puntos que tienen vecindarios homeomorfos para abrir bolas; y "colector combinatorio" de forma inductiva dependiendo de la definición de un complejo celular y la Hauptvermutung . [21] |
1926 | Élie Cartan | Clasificación de espacios simétricos , una clase de espacios homogéneos. |
1926 | Tibor Radó | Las variedades topológicas bidimensionales tienen triangulaciones. [22] |
1926 | Heinz Hopf | Poincaré-Hopf teorema , la suma de los índices de un campo de vectores con ceros aislado en una variedad diferencial compacta M es igual a la característica de Euler de M . |
1926-1927 | Otto Schreier | Definiciones de grupo topológico y de "grupo continuo" (término tradicional, en última instancia grupo de Lie ) como grupo topológico localmente euclidiano). También introduce la cubierta universal en este contexto. [23] |
1928 | Leopold Vietoris | Definición de h-múltiple, por métodos combinatorios, mediante análisis de prueba aplicado a la dualidad de Poincaré. [24] |
1929 | Egbert van Kampen | En su disertación, mediante complejos estelares para complejos simpliciales, recupera la dualidad de Poincaré en un marco combinatorio. [25] |
1930 | Bartel Leendert van der Waerden | Persiguiendo el objetivo de los fundamentos del cálculo de Schubert en geometría enumerativa , examinó la teoría de la intersección de Poincaré-Lefschetz para su versión del número de intersección , en un artículo de 1930 (dada la triangulabilidad de las variedades algebraicas ). [26] En el mismo año, publicó una nota Kombinatorische Topologie sobre una charla para la Deutsche Mathematiker-Vereinigung , en la que examinó las definiciones de "variedad topológica" dadas hasta ahora por ocho autores. [27] |
c.1930 | Emmy Noether | La teoría de módulos y los complejos de cadenas generales son desarrollados por Noether y sus estudiantes, y la topología algebraica comienza como un enfoque axiomático basado en el álgebra abstracta . |
1931 | Georges de Rham | Teorema de De Rham : para una variedad diferencial compacta, el complejo de cadenas de formas diferenciales calcula los grupos de (co) homología reales. [28] |
1931 | Heinz Hopf | Introduce la fibración Hopf ,. |
1931-2 | Oswald Veblen , JHC Whitehead | La tesis de Whitehead de 1931, The Representation of Projective Spaces , escrita con Veblen como asesor, ofrece una visión intrínseca y axiomática de las variedades como espacios de Hausdorff sujetos a ciertos axiomas. Le siguió el libro conjunto Foundations of Differential Geometry (1932). El concepto de "gráfico" de Poincaré, un sistema de coordenadas local, está organizado en el atlas ; en esta configuración, se pueden aplicar condiciones de regularidad a las funciones de transición. [29] [30] [8] Este punto de vista fundamental permite una restricción de pseudogrupo en las funciones de transición, por ejemplo, para introducir estructuras lineales por partes . [31] |
1932 | Eduard Čech | Čech cohomology . |
1933 | Solomon Lefschetz | Homología singular de espacios topológicos. |
1934 | Marston Morse | La teoría de Morse relaciona la homología real de las variedades diferenciales compactas con los puntos críticos de una función de Morse . [32] |
1935 | Hassler Whitney | Prueba del teorema de incrustación , que establece que una variedad suave de dimensión n puede incrustarse en el espacio euclidiano de dimensión 2 n . [33] |
1941 | Witold Hurewicz | Primer teorema fundamental del álgebra homológica: Dada una secuencia corta exacta de espacios existe un homomorfismo de conexión tal que la secuencia larga de grupos de cohomología de los espacios es exacta. |
1942 | Lev Pontryagin | Pontryagin, que se publicó en su totalidad en 1947, fundó una nueva teoría del cobordismo con el resultado de que una variedad cerrada que es un límite tiene números de Stiefel-Whitney que se desvanecen . Según el teorema de Stokes, las clases de cobordismo de subvariedades son invariantes para la integración de formas diferenciales cerradas ; la introducción de invariantes algebraicos dio la oportunidad de computar con la relación de equivalencia como algo intrínseco. [34] |
1943 | Werner Gysin | Secuencia de Gysin y homomorfismo de Gysin . |
1943 | Norman Steenrod | Homología con coeficientes locales . |
1944 | Samuel Eilenberg | Definición "moderna" de homología singular y cohomología singular. |
1945 | Beno Eckmann | Define el anillo de cohomología basado en el trabajo de Heinz Hopf . En el caso de los colectores, existen múltiples interpretaciones del producto de anillo, incluido el producto de cuña de formas diferenciales y el producto de copa que representa ciclos de intersección. |
1945 hasta 1960
Terminología : En este período, se asume generalmente que las variedades son las de Veblen-Whitehead, por lo que localmente los espacios Euclidianos de Hausdorff , pero la aplicación de los axiomas de contabilidad también se estaba volviendo estándar. Veblen-Whitehead no asumió, como lo había hecho Kneser anteriormente, que las variedades son contables en segundo lugar . [35] El término "variedad separable", para distinguir las segundas variedades contables, sobrevivió hasta finales de la década de 1950. [36]
Año | Colaboradores | Evento |
---|---|---|
1945 | Saunders Mac Lane - Samuel Eilenberg | Fundamento de la teoría de categorías : axiomas para categorías , functores y transformaciones naturales . |
1945 | Norman Steenrod - Samuel Eilenberg | Axiomas de Eilenberg-Steenrod para homología y cohomología. |
1945 | Jean Leray | Fundamentos de la teoría de la gavilla . Para Leray, un haz era un mapa que asignaba un módulo o un anillo a un subespacio cerrado de un espacio topológico. El primer ejemplo fue la gavilla que asigna a un subespacio cerrado su p -ésimo grupo de cohomología. |
1945 | Jean Leray | Define la cohomología de la gavilla . |
1946 | Jean Leray | Inventa secuencias espectrales , un método para aproximar iterativamente grupos de cohomología. |
1948 | Seminario Cartan | Escribe la teoría de la gavilla . |
hacia 1949 | Norman Steenrod | El problema de Steenrod , de representación de clases de homología por clases fundamentales de variedades, puede resolverse por medio de pseudomúltiples (y más tarde, formulado a través de la teoría del cobordismo). [37] |
1950 | Henri Cartan | En las notas de teoría de la gavilla del seminario de Cartan, define: espacio de gavilla (espacio étale), soporte de gavillas axiomáticamente, cohomología de gavilla con soporte. "La prueba más natural de la dualidad de Poincaré se obtiene mediante la teoría de la gavilla". [38] |
1950 | Samuel Eilenberg –Joe Zilber | Conjuntos simples como un modelo puramente algebraico de espacios topológicos bien comportados. |
1950 | Charles Ehresmann | El teorema de la fibración de Ehresmann establece que una inmersión sobreyectiva suave, adecuada y entre variedades suaves es una fibración localmente trivial. |
1951 | Henri Cartan | Definición de la teoría de la gavilla , con una gavilla definida utilizando subconjuntos abiertos (en lugar de subconjuntos cerrados) de un espacio topológico. Las poleas conectan las propiedades locales y globales de los espacios topológicos. |
1952 | René Thom | El isomorfismo de Thom lleva el cobordismo de variedades al ámbito de la teoría de la homotopía . |
1952 | Edwin E. Moise | El teorema de Moise estableció que una variedad topológica conectada compacta de 3 dimensiones es una variedad PL (terminología anterior "variedad combinatoria"), que tiene una estructura PL única. En particular, es triangulable. [39] Ahora se sabe que este resultado no se extiende más hacia dimensiones superiores. |
1956 | John Milnor | Las primeras esferas exóticas fueron construidas por Milnor en la dimensión 7, como-paquetes sobre . Mostró que hay al menos 7 estructuras diferenciables en la 7-esfera. |
1960 | John Milnor y Sergei Novikov | El anillo de clases de cobordismo de variedades establemente complejas es un anillo polinomial en un número infinito de generadores de grados pares positivos. |
1961 hasta 1970
Año | Colaboradores | Evento |
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1961 | Stephen Smale | Prueba de la conjetura generalizada de Poincaré en dimensiones superiores a cuatro. |
1962 | Stephen Smale | Demostración del teorema de h -cobordismo en dimensiones mayores a cuatro, basado en el truco de Whitney . |
1963 | Michel Kervaire - John Milnor | La clasificación de esferas exóticas: el monoide de estructuras suaves en la n -esfera es la colección de n- múltiples orientadas suaves que son homeomórficas a, llevado al difeomorfismo que conserva la orientación, con suma conectada como la operación monoide. Para, este monoide es un grupo y es isomorfo al grupo de clases de h -cobordismo de n -esferas de homotopía orientada , que es finito y abeliano. |
1965 | Dennis Barden | Completa la clasificación de 5 colectores compactos y simplemente conectados , iniciada por Smale en 1962. |
1967 | Friedhelm Waldhausen | Define y clasifica variedades gráficas tridimensionales . |
1968 | Robion Kirby y Laurent C. Siebenmann | En la dimensión al menos cinco, la clase Kirby-Siebenmann es la única obstrucción a una variedad topológica que tiene una estructura PL. [40] |
1969 | Laurent C. Siebenmann | Ejemplo de dos variedades PL homeomorfas que no son homeomorfas linealmente por partes. [41] El enfoque de atlas máximo de las estructuras en las variedades había aclarado la Hauptvermutung para una variedad topológica M , como una tricotomía. M podría no tener triangulación, por lo tanto, ningún atlas máximo lineal por partes; podría tener una estructura PL única; o puede tener más de un atlas máximo y, por tanto, más de una estructura PL. El estado de la conjetura, que la segunda opción era siempre el caso, se convirtió aclaró en este punto en la forma que cada uno de los tres casos podría aplicarse, dependiendo M . La "conjetura de la triangulación combinatoria" estableció que el primer caso no podría ocurrir, para M compact. [42] El resultado de Kirby-Siebenmann eliminó la conjetura. El ejemplo de Siebenmann mostró que el tercer caso también es posible. |
1970 | John Conway | Teoría de madejas de nudos: el cálculo de invariantes de nudos por módulos de madejas . Los módulos de madejas pueden basarse en invariantes cuánticos . |
1971-1980
Año | Colaboradores | Evento |
---|---|---|
1974 | Shiing-Shen Chern - James Simons | Teoría de Chern-Simons : un TQFT particular que describe invariantes de nudos y múltiples, en ese momento solo en 3D |
1978 | Francois Bayen – Moshe Flato – Chris Fronsdal– Andre Lichnerowicz –Daniel Sternheimer | Cuantización de deformaciones , que luego será parte de la cuantificación categórica |
1981-1990
Año | Colaboradores | Evento |
---|---|---|
1984 | Vladimir Bazhanov – Razumov Stroganov | Ecuación d- simple de Bazhanov-Stroganov que generaliza la ecuación de Yang-Baxter y la ecuación de Zamolodchikov |
1986 | Joachim Lambek –Phil Scott | El llamado teorema fundamental de topología : el functor de sección Γ y el functor de germen Λ establecen una doble adjunción entre la categoría de pretensiones y la categoría de haces (sobre el mismo espacio topológico) que se restringe a una equivalencia dual de categorías (o dualidad) entre las correspondientes subcategorías completas de gavillas y de paquetes étale |
1986 | Peter Freyd - David Yetter | Construye la categoría monoidal (trenzado compacto) de enredos. |
1986 | Vladimir Drinfel'd - Michio Jimbo | Grupos cuánticos : En otras palabras, álgebras de Hopf cuasitriangulares . El punto es que las categorías de representaciones de grupos cuánticos son categorías de tensores con estructura extra. Se utilizan en la construcción de invariantes cuánticos de nudos y enlaces y variedades de baja dimensión, entre otras aplicaciones. |
1987 | Vladimir Drinfel'd –Gerard Laumon | Formula el programa Langlands geométrico |
1987 | Vladimir Turaev | Inicia la topología cuántica mediante el uso de grupos cuánticos y matrices R para dar una unificación algebraica de la mayoría de los polinomios de nudos conocidos . Especialmente importante fue el trabajo de Vaughan Jones y Edward Witten en el polinomio de Jones . |
1988 | Graeme Segal | Objetos elípticos : un funtor que es una versión categorizada de un paquete de vectores equipado con una conexión, es un transporte paralelo 2D para cadenas. |
1988 | Graeme Segal | Teoría de campo conformal : un funtor monoidal simétrico satisfaciendo algunos axiomas |
1988 | Edward Witten | Teoría de campos cuánticos topológicos ( TQFT ): un funtor monoidal satisfaciendo algunos axiomas |
1988 | Edward Witten | Teoría topológica de cuerdas |
1989 | Edward Witten | Comprensión del polinomio de Jones mediante la teoría de Chern-Simons , lo que conduce a invariantes para 3 variedades. |
1990 | Nicolai Reshetikhin - Vladimir Turaev - Edward Witten | Reshetikhin-Turaev-Witten invariantes de nudos de categorías de tensor modular de representaciones de grupos cuánticos . |
1991-2000
Año | Colaboradores | Evento |
---|---|---|
1991 | André Joyal - Calle Ross | Formalización de diagramas de cuerdas de Penrose para calcular con tensores abstractos en varias categorías monoidales con estructura extra. El cálculo ahora depende de la conexión con la topología de baja dimensión . |
1992 | John Greenlees– Peter May | Dualidad Greenlees-May |
1992 | Vladimir Turaev | Categorías de tensores modulares . Categorías de tensores especiales que surgen al construir invariantes de nudos , al construir TQFT y CFT , como truncamiento (cociente semisimple) de la categoría de representaciones de un grupo cuántico (en las raíces de la unidad), como categorías de representaciones de álgebras de Hopf débiles , como categoría representaciones de un RCFT . |
1992 | Vladimir Turaev - Oleg Viro | Modelos de suma de estados de Turaev-Viro basados en categorías esféricas (los primeros modelos de suma de estados) e invariantes de suma de estados de Turaev-Viro para 3 variedades. |
1992 | Vladimir Turaev | Mundo de sombras de enlaces: las sombras de enlaces dan invariantes de sombra de enlaces por sumas de estado de sombra . |
1993 | Ruth Lawrence | TQFT extendidos |
1993 | David Yetter - Louis Crane | Modelos de suma de estado Crane-Yetter basados en categorías de cinta e invariantes de suma de estado Crane-Yetter para 4 múltiples. |
1993 | Kenji Fukaya | A ∞ -categorías y A ∞ -functores . Las categorías A ∞ también pueden verse como variedades dg formales no conmutativas con un subesquema de objetos marcado cerrado. |
1993 | John Barret -Bruce Westbury | Categorías esféricas : categorías monoidales con duales para diagramas en esferas en lugar de en el plano. |
1993 | Maxim Kontsevich | Invariantes de Kontsevich para nudos (son integrales de Feynman de expansión de perturbación para la integral funcional de Witten ) definidas por la integral de Kontsevich. Son las invariantes universales de Vassiliev para los nudos. |
1993 | Daniel liberado | Una nueva vista sobre TQFT usando categorías de tensor modular que unifica 3 enfoques para TQFT (categorías de tensor modular de integrales de ruta). |
1994 | Maxim Kontsevich | Formula la conjetura de simetría especular homológica : X una variedad simpléctica compacta con primera clase chern c 1 ( X ) = 0 e Y una variedad compacta Calabi-Yau son pares espejo si y solo si D (Fuk X ) (la categoría derivada de Fukaya triangulada categoría de X inventada a partir de ciclos lagrangianos con sistemas locales) es equivalente a una subcategoría de D b (Coh Y ) (la categoría derivada acotada de poleas coherentes en Y ). |
1994 | Louis Crane - Igor Frenkel | Categorías Hopf y construcción de TQFT 4D por ellos. Identifica k -tuply monoidal n -categorías . Refleja la tabla de grupos homotópicos de las esferas . |
1995 | John Baez - James Dolan | Esboce un programa en el que los TQFT n - dimensionales se describan como representaciones de n categorías . |
1995 | John Baez - James Dolan | Propone cuantificación de deformaciones n- dimensionales . |
1995 | John Baez - James Dolan | Hipótesis de la maraña : La categoría n de n- ángulos enmarcados en n + k dimensiones es ( n + k ) -equivalente a la categoría n monoidal libre débil k -tuply con duales en un objeto. |
1995 | John Baez - James Dolan | Hipótesis de Cobordismo (hipótesis I de TQFT extendida): La categoría n de la cual las TQFT extendidas n -dimensionales son representaciones nCob es la categoría n débil estable libre con duales en un objeto. |
1995 | John Baez - James Dolan | Hipótesis II de TQFT extendido : Un TQFT extendido unitario n -dimensional es un n -functor débil , que preserva todos los niveles de dualidad, desde la categoría n débil estable libre con duales en un objeto hasta nHilb. |
1995 | Valentin Lychagin | Cuantización categórica |
1997 | Maxim Kontsevich | Teorema de cuantificación de deformaciones formales : Toda variedad de Poisson admite un producto estrella diferenciable y se clasifican hasta equivalencia por deformaciones formales de la estructura de Poisson. |
1998 | Richard Thomas | Thomas, un estudiante de Simon Donaldson , presenta invariantes de Donaldson-Thomas que son sistemas de invariantes numéricos de complejos X de 3 variedades orientadas , análogos a los invariantes de Donaldson en la teoría de 4 variedades. |
1998 | Maxim Kontsevich | Categorías de Calabi – Yau : Una categoría lineal con un mapa de trazas para cada objeto de la categoría y un emparejamiento no degenerado simétrico asociado (con respecto a los objetos) al mapa de trazas. Si X es una variedad proyectiva suave de Calabi-Yau de dimensión d, entonceses un unital Calabi-Yau A ∞ -Categoría de Calabi-Yau dimensión d . Una categoría de Calabi-Yau con un objeto es un álgebra de Frobenius . |
1999 | Joseph Bernstein - Igor Frenkel - Mikhail Khovanov | Categorías de Temperley – Lieb : los objetos se enumeran mediante números enteros no negativos. El conjunto de homomorfismos del objeto n al objeto m es un módulo R libre con una base sobre un anillo, dónde viene dada por las clases de isotopías de sistemas de arcos simples disjuntos por pares dentro de una franja horizontal en el plano que se conectan en pares | n | puntos en la parte inferior y | m | puntos en la parte superior en algún orden. Los morfismos se componen concatenando sus diagramas. Las categorías de Temperley-Lieb se clasifican en álgebras de Temperley-Lieb . |
1999 | Moira Chas– Dennis Sullivan | Construye topología de cadenas por cohomología. Esta es la teoría de cuerdas sobre variedades topológicas generales. |
1999 | Mikhail Khovanov | Homología de Khovanov : una teoría de homología para nudos tal que las dimensiones de los grupos de homología son los coeficientes del polinomio de Jones del nudo. |
1999 | Vladimir Turaev | Teoría de campo cuántico de homotopía ( HQFT ) |
1999 | Ronald Brown –George Janelidze | Teoría bidimensional de Galois. |
2000 | Yakov Eliashberg - Alexander Givental - Helmut Hofer | Teoría simpléctica de campos SFT : un functor desde una categoría geométrica de estructuras hamiltonianas enmarcadas y cobordismos enmarcados entre ellas a una categoría algebraica de ciertos módulos D diferenciales y operadores integrales de Fourier entre ellos y que satisfacen algunos axiomas. |
2001-presente
Año | Colaboradores | Evento |
---|---|---|
2003 | Grigori Perelman | Prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré en la dimensión 3 usando el flujo de Ricci . La prueba es más general. [43] |
2004 | Stephen Stolz - Peter Teichner | Definición de la teoría cuántica de campos nD de grado p parametrizado por una variedad. |
2004 | Stephen Stolz - Peter Teichner | Programa para la construcción de formas modulares topológicas como un espacio de módulos de teorías de campo euclidianas supersimétricas. Conjeturaron una imagen de Stolz-Teichner (analogía) entre los espacios de clasificación de las teorías de cohomología en la filtración cromática (cohomología de Rham, teoría K, teorías K de Morava) y espacios de módulos de QFT supersimétricos parametrizados por una variedad (probado en 0D y 1D ). |
2005 | Peter Ozsváth - Zoltán Szabó | Homología Knot Floer |
2008 | Bruce Bartlett | Primacía de la hipótesis del punto: Un TQFT extendido unitario n -dimensional es completamente descrito por el espacio n- Hilbert que asigna a un punto. Esta es una reformulación de la hipótesis del cobordismo . |
2008 | Michael Hopkins - Jacob Lurie | Bosquejo de la prueba de la hipótesis del enredo de Báez-Dolan y la hipótesis del cobordismo de Báez-Dolan , que clasifican el TQFT extendido en todas las dimensiones. |
2016 | Ciprian Manolescu | Refutación de la "conjetura de la triangulación", con la prueba de que en la dimensión al menos cinco, existe una variedad topológica compacta no homeomorfa a un complejo simplicial. [44] |
Ver también
- pila diferenciable
- homología de factorización
- Teoría de Kuranishi
- Homología Floer
- Glosario de topología algebraica
- Cronología del bordismo
Notas
- ↑ Coxeter, HSM (6 de diciembre de 2012). El plano proyectivo real . Springer Science & Business Media. págs. 3–4. ISBN 9781461227342. Consultado el 16 de enero de 2018 .
- ^ Buekenhout, Francis; Cohen, Arjeh M. (26 de enero de 2013). Geometría de diagrama: relacionada con grupos y edificios clásicos . Springer Science & Business Media. pag. 366. ISBN 9783642344534. Consultado el 16 de enero de 2018 .
- ^ García, Emilio Bujalance; Costa, AF; Martínez, E. (14 de junio de 2001). Temas sobre superficies de Riemann y grupos fucsianos . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. ix. ISBN 9780521003506. Consultado el 17 de enero de 2018 .
- ^ Platonov, Vladimir P. (2001) [1994], "Grupo de mentiras" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- ^ James, Ioan M. (24 de agosto de 1999). Historia de la topología . Elsevier. pag. 31. ISBN 9780080534077. Consultado el 30 de junio de 2018 .
- ^ Stein, Erwin (4 de diciembre de 2013). La historia de la mecánica teórica, material y computacional: las matemáticas se encuentran con la mecánica y la ingeniería . Springer Science & Business Media. págs. 70-1. ISBN 9783642399053. Consultado el 6 de enero de 2018 .
- ^ Dieudonné, Jean (1 de septiembre de 2009). Una historia de topología algebraica y diferencial, 1900-1960 . Springer Science & Business Media. pag. 7. ISBN 9780817649074. Consultado el 4 de enero de 2018 .
- ^ a b James, MI (24 de agosto de 1999). Historia de la topología . Elsevier. pag. 47. ISBN 9780080534077. Consultado el 17 de enero de 2018 .
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