En álgebra conmutativa , una extensión de anillo es un homomorfismo de anillo de anillos conmutativos , lo que hace S un R - álgebra .
En este artículo, una extensión de anillo de un anillo R por un grupo abeliano I es un par de un anillo E y un homomorfismo de anillo suprayectivotal que yo es isomorfo (como un grupo abeliano) al núcleo de En otras palabras,
es una breve secuencia exacta de grupos abelianos. (Esto hace que I sea un ideal bilateral de E ).
Dado un anillo conmutativo A , un A -extensión se define de la misma manera mediante la sustitución de "anillo" con " álgebra sobre A " y "grupos abelianos" con " A - módulos ".
Se dice que una prórroga es trivial sidivisiones es decir,admite una sección que es un homomorfismo de álgebra . Esto implica que E es isomorfo al producto directo de R y yo .
Un morfismo entre las extensiones de R por que , sobre decir una , es un homomorfismo del álgebra E → E ' que induce las identidades en I y R . Según el lema de los cinco , tal morfismo es necesariamente un isomorfismo , por lo que dos extensiones son equivalentes si hay un morfismo entre ellas.
Ejemplos de
Ejemplo 1
Tomemos el anillo de números enteros y tomemos el grupo abeliano (bajo la suma) de números binarios. Sea E =podemos identificar la multiplicación en E por(dónde es el homomorfismo que asigna números pares a 0 y números impares a 1). Esto da la breve secuencia exacta
Donde p es el mapeo de homomorfismo.
Ejemplo 2
Sea R un anillo conmutativo y M un módulo R. Sea E = R ⊕ M la suma directa de los grupos abelianos. Defina la multiplicación en E por
Tenga en cuenta que identificar ( a , x ) con a + εx donde ε cuadra a cero y expandir ( a + εx ) ( b + εy ) produce la fórmula anterior; en particular, vemos que E es un anillo. Luego tenemos la breve secuencia exacta
Donde p es la proyección. Por lo tanto, E es una extensión de R por M . Una característica interesante de esta construcción es que el módulo M se convierte en un ideal de algún anillo nuevo. En su libro Local Rings , Nagata llama a este proceso el principio de idealización . [1]
Referencias
- ^ Nagata, Masayoshi (1962), Anillos locales , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13 , Nueva York-Londres: Interscience Publishers, una división de John Wiley & Sons, ISBN 0-88275-228-6, MR 0155856
- E. Sernesi: Deformaciones de esquemas algebraicos