En matemáticas , el teorema de Goldbach-Euler (también conocido como teorema de Goldbach ), establece que la suma de 1 / ( p - 1) sobre el conjunto de potencias perfectas p , excluyendo 1 y omitiendo repeticiones, converge a 1:
Este resultado se publicó por primera vez en el artículo de Euler de 1737 " Variæ observaciónes circa series infinitas ". Euler atribuyó el resultado a una carta (ahora perdida) de Goldbach .
Prueba
La prueba original de Goldbach a Euler implicaba asignar una constante a la serie armónica :, que es divergente . Tal prueba no se considera rigurosa según los estándares modernos. Existe una gran semejanza entre el método de tamizar las potencias empleado en su demostración y el método de factorización utilizado para derivar la fórmula del producto de Euler para la función zeta de Riemann .
Sea x dado por
Dado que la suma del recíproco de cada potencia de dos es , restando los términos con potencias de dos de x da
Repite el proceso con los términos con potencias de tres:
Ausentes de la suma anterior ahora están todos los términos con potencias de dos y tres. Continúe eliminando términos con potencias de 5, 6 y así sucesivamente hasta que el lado derecho se agote al valor de 1. Finalmente, obtenemos la ecuación
que reorganizamos en
donde los denominadores consisten en todos los enteros positivos que son los no poderes menos uno. Restando la ecuación anterior de la definición de x dada arriba, obtenemos
donde los denominadores ahora consisten solo en poderes perfectos menos uno.
Aunque carece de rigor matemático, la demostración de Goldbach proporciona un argumento razonablemente intuitivo para la verdad del teorema. Las pruebas rigurosas requieren un tratamiento adecuado y más cuidadoso de los términos divergentes de la serie armónica. Otras demostraciones hacen uso del hecho de que la suma de 1 / p sobre el conjunto de potencias perfectas p , excluyendo 1 pero incluyendo repeticiones, converge a 1 demostrando la equivalencia:
Una serie generalizada
Una serie de Euler-Goldbach generalizada, con , Se define como:
Para Reesto se puede expresar como: [1]
dónde es la función zeta de Riemann . Al utilizar la serie telescópica, el caso especial se puede demostrar que es igual .
Ver también
Referencias
- ↑ Munkhammar, Joakim (2020). "La función zeta de Riemann como suma de series geométricas". La Gaceta Matemática . 104 (561): 527–530. doi : 10.1017 / mag.2020.110 .
- Viader, Pelegrí; Bibiloni, Lluís; Paradís, Jaume (2006). "Sobre una serie de Goldbach y Euler" (PDF) . American Mathematical Monthly . 113 (3): 206–220. doi : 10.2307 / 27641889 . hdl : 10230/382 . JSTOR 27641889 ..
- Graham, Ronald ; Donald Knuth ; Oren Patashnik (1988). Matemáticas concretas . Addison-Wesley. ISBN 0-201-14236-8.