En matemáticas , el teorema de Gordon-Luecke sobre complementos de nudos establece que si los complementos de dos nudos mansos son homeomórficos, entonces los nudos son equivalentes. En particular, cualquier homeomorfismo entre complementos de nudos debe llevar un meridiano a un meridiano.
El teorema generalmente se establece como "los nudos están determinados por sus complementos"; sin embargo, esto es un poco ambiguo ya que considera que dos nudos son equivalentes si hay un auto-homeomorfismo que lleva un nudo al otro. Por tanto, se descuidan las imágenes de espejo. A menudo, dos nudos se consideran equivalentes si son isotópicos . La versión correcta en este caso es que si dos nudos tienen complementos que son homeomórficos que conservan la orientación, entonces son isotópicos.
Estos resultados se derivan de lo siguiente (también llamado teorema de Gordon-Luecke): ninguna cirugía de Dehn no trivial en un nudo no trivial en la 3-esfera puede producir la 3-esfera .
El teorema fue probado por Cameron Gordon y John Luecke . Los ingredientes esenciales de la prueba son su trabajo conjunto con Marc Culler y Peter Shalen sobre el teorema de la cirugía cíclica , las técnicas combinatorias al estilo de Litherland, la posición delgada y los ciclos de Scharlemann .
En el caso de los complementos de enlaces, no es cierto que los enlaces estén determinados por sus complementos. Por ejemplo, JHC Whitehead demostró que hay infinitos enlaces cuyos complementos son todos homeomórficos al enlace de Whitehead . Su construcción consiste en girar a lo largo de un disco que abarca un componente sin nudos (como es el caso de cualquiera de los componentes del enlace Whitehead). Otro método consiste en girar a lo largo de un anillo que abarca dos componentes. Gordon demostró que para la clase de enlaces donde estas dos construcciones no son posibles, hay un número finito de enlaces en esta clase con un complemento dado.
Referencias
- Cameron Gordon y John Luecke, los nudos están determinados por sus complementos . J. Amer. Matemáticas. Soc. 2 (1989), núm. 2, 371–415.
- Cameron Gordon, Links y sus complementos. Topología y geometría: conmemoración de SISTAG, 71–82, Contemp. Math., 314, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 2002.