En topología , una rama de las matemáticas, una cirugía de Dehn , que lleva el nombre de Max Dehn , es una construcción utilizada para modificar 3 variedades . El proceso toma como entrada un colector 3 junto con un enlace . A menudo se conceptualiza como dos pasos: perforar y luego llenar .
Definiciones
- Dado un colector de 3 y un enlace , el colector perforado a lo largo se obtiene eliminando una vecindad tubular abierta de de . Si, el colector perforado tiene componentes del contorno del toro . El colector perforado a lo largo también se conoce como el complemento de enlace , ya que si se elimina la vecindad tubular cerrada correspondiente de, se obtiene un difeomorfo múltiple a .
- Dado un 3-múltiple cuyo límite está hecho de 2-tori , podemos pegar en un toro sólido mediante un homeomorfismo (resp. difeomorfismo ) de su límite a cada uno de los componentes del límite del torodel colector de 3 originales. Hay muchas formas desiguales de hacer esto, en general. Este proceso se llama llenado de Dehn .
- La cirugía de Dehn en un colector de 3 que contiene un enlace consiste en perforar una vecindad tubular del enlace junto con el relleno de Dehn en todos los componentes del límite correspondiente al enlace.
Para describir una cirugía de Dehn (ver Rolfsen, Dale (1976). Knots and Links (PDF) . Publish or Perish. P. 259.), se escogen dos curvas cerradas simples orientadas y en el toro límite correspondiente del colector de 3 perforado, donde es un meridiano de (una curva que permanece en una pequeña bola en y tener el número de enlace +1 con o, equivalentemente, una curva que delimita un disco que se cruza una vez que el componente ) y es una longitud de (una curva que viaja una vez a lo largo de o, equivalentemente, una curva en tal que la intersección algebraica es igual a +1). Las curvas y generar el grupo fundamental del toro, y forman la base de su primer grupo de homología . Esto da cualquier curva cerrada simple en el toro dos coordenadas y , así que eso . Estas coordenadas solo dependen de la clase de homotopía de.
Podemos especificar un homeomorfismo del límite de un toro sólido para haciendo que la curva meridiana del toro sólido se asigne a una curva homotópica a . Siempre que el meridiano se corresponda con la pendiente de la cirugía. , la cirugía de Dehn resultante producirá una variedad de 3 que no dependerá del pegado específico (hasta el homeomorfismo). El radiose llama el coeficiente de cirugía de.
En el caso de enlaces en la 3-esfera o más generalmente una esfera de homología integral orientada, hay una elección canónica de las longitudes : cada longitud se elige de modo que sea nula-homóloga en el complemento del nudo, de manera equivalente, si es el límite de una superficie Seifert .
Cuando las proporciones son todos enteros (tenga en cuenta que esta condición no depende de la elección de las longitudes, ya que corresponde a los nuevos meridianos que se cruzan exactamente una vez que los antiguos), la cirugía se denomina cirugía integral . Estas cirugías están estrechamente relacionadas con los mangos , el cobordismo y las funciones de Morse .
Ejemplos de
- Si todos los coeficientes de cirugía son infinitos, entonces cada nuevo meridiano es homotópico al antiguo meridiano . Por lo tanto, la cirugía no modifica el tipo de homeomorfismo de la variedad.
- Si es la 3-esfera ,es el nudo , y el coeficiente de cirugía es, entonces el colector de 3 sobretensiones es .
- Si es la 3-esfera ,es el nudo , y el coeficiente de cirugía es, entonces el colector de 3 aumentos es el espacio de la lente . En particular si el coeficiente de cirugía es de la forma, entonces el colector de 3 sobretensiones sigue siendo el de 3 esferas.
- Si es la 3-esfera, es el nudo de trébol de la mano derecha , y el coeficiente de cirugía es, entonces la variedad tridimensional aumentada es el espacio dodecaédrico de Poincaré .
Resultados
Todos los 3 colectores cerrados , orientables y conectados se obtienen realizando una cirugía de Dehn en un enlace de la 3 esfera . Este resultado, el teorema de Lickorish-Wallace , fue probado por primera vez por Andrew H. Wallace en 1960 e independientemente por WBR Lickorish en una forma más fuerte en 1962. A través de la ahora conocida relación entre cirugía genuina y cobordismo , este resultado es equivalente Teorema de que el grupo de cobordismo orientado de 3 variedades es trivial, un teorema originalmente probado por Vladimir Abramovich Rokhlin en 1951.
Dado que todos los 3-manifolds orientables pueden generarse mediante enlaces adecuadamente decorados, uno podría preguntarse cómo se pueden relacionar las distintas presentaciones quirúrgicas de un 3-manifold dado. La respuesta se llama cálculo de Kirby .
Ver también
- Cirugía de Dehn hiperbólica
- Barrio tubular
- Cirugía de variedades, en sentido general, también llamada modificación esférica.
Referencias
- Dehn, Max (1938), "Die Gruppe der Abbildungsklassen", Acta Mathematica , 69 (1): 135-206, doi : 10.1007 / BF02547712.
- Thom, René (1954), "Quelques propriétés globales des variétés différentiables" , Commentarii Mathematici Helvetici , 28 : 17–86, doi : 10.1007 / BF02566923 , MR 0061823[ enlace muerto permanente ]
- Rolfsen, Dale (1976). Nudos y enlaces (PDF) . Ciclo de conferencias de matemáticas. 346 . Berkeley, California: publicar o perecer. pag. 439. ISBN 9780914098164.
- Kirby, Rob (1978), "A calculus for framed links in S 3 ", Inventiones Mathematicae , 45 (1): 35–56, doi : 10.1007 / BF01406222 , MR 0467753.
- Fenn, Roger; Rourke, Colin (1979), "Sobre el cálculo de enlaces de Kirby", Topología , 18 (1): 1-15, doi : 10.1016 / 0040-9383 (79) 90010-7 , MR 0528232.
- Gompf, Robert ; Stipsicz, András (1999), 4-Manifolds y Kirby Calculus , Graduate Studies in Mathematics , 20 , Providence, RI: American Mathematical Society, doi : 10.1090 / gsm / 020 , ISBN 0-8218-0994-6, MR 1707327.