Tetraedro goursat
En geometría , un tetraedro de Goursat es un dominio fundamental tetraédrico de una construcción de Wythoff . Cada cara tetraédrica representa un hiperplano reflexión sobre 3-dimensionales superficies: la 3-esfera , euclidiana 3-espaciales, y hiperbólica 3-espaciales. Coxeter los nombró en honor a Édouard Goursat, quien investigó por primera vez estos dominios. Es una extensión de la teoría de los triángulos de Schwarz para las construcciones de Wythoff en la esfera.
A Goursat tetraedro puede ser representada gráficamente por un gráfico tetraédrica, que está en una doble configuración del tetraedro dominio fundamental. En el gráfico, cada nodo representa una cara (espejo) del tetraedro Goursat. Cada borde está marcado por un valor racional correspondiente a la orden de reflexión, siendo π / ángulo diedro .
Un diagrama de Coxeter-Dynkin de 4 nodos representa estos gráficos tetraédricos con bordes de orden 2 ocultos. Si muchas aristas son de orden 2, el grupo Coxeter se puede representar mediante una notación entre corchetes .
La existencia requiere que cada uno de los subgráficos de 3 nodos de este gráfico, (pqr), (pus), (qtu) y (rst), debe corresponder a un triángulo de Schwarz .
Una simetría extendida del tetraedro Goursat es un producto semidirecto de la simetría del grupo Coxeter y la simetría del dominio fundamental (el tetraedro Goursat en estos casos). La notación de Coxeter apoya esta simetría ya que los corchetes dobles como [Y [X]] significan la simetría del grupo Coxeter completo [X], con Y como una simetría del tetraedro de Goursat. Si Y es una simetría reflectante pura, el grupo representará otro grupo de espejos Coxeter. Si solo hay una simetría de duplicación simple, Y puede estar implícita como [[X]] con simetría de reflexión o de rotación dependiendo del contexto.
La simetría extendida de cada tetraedro de Goursat también se da a continuación. La simetría más alta posible es la del tetraedro regular como [3,3], y esto ocurre en el grupo de puntos prismáticos [2,2,2] o [2 [3,3] ] y el grupo hiperbólico paracompacto [3 [3 , 3] ].
