En geometría , una construcción de Wythoff , que lleva el nombre del matemático Willem Abraham Wythoff , es un método para construir un poliedro uniforme o un mosaico plano. A menudo se la conoce como la construcción caleidoscópica de Wythoff .
Proceso de construcción
El método se basa en la idea de embaldosar una esfera , con triángulos esféricos ; consulte Triángulos de Schwarz . Esta construcción dispone tres espejos a los lados de un triángulo, como en un caleidoscopio . Sin embargo, a diferencia de un caleidoscopio, los espejos no son paralelos, sino que se cruzan en un solo punto. Por lo tanto, encierran un triángulo esférico en la superficie de cualquier esfera centrada en ese punto y los reflejos repetidos producen una multitud de copias del triángulo. Si los ángulos del triángulo esférico se eligen apropiadamente, los triángulos enlosarán la esfera, una o más veces.
Si se coloca un vértice en un punto adecuado dentro del triángulo esférico encerrado por los espejos, es posible asegurar que los reflejos de ese punto produzcan un poliedro uniforme. Para un triángulo esférico ABC tenemos cuatro posibilidades que producirán un poliedro uniforme:
- Un vértice se coloca en el punto A . Esto produce un poliedro con el símbolo de Wythoff a | b c , donde a es igual a π dividido por el ángulo del triángulo en A , y de manera similar para b y c .
- Un vértice se coloca en un punto en la línea AB de manera que biseca el ángulo en C . Esto produce un poliedro con el símbolo de Wythoff a b | c .
- Se coloca un vértice de modo que esté en el incentro de ABC . Esto produce un poliedro con el símbolo de Wythoff a b c |.
- El vértice está en un punto tal que, cuando se gira alrededor de cualquiera de las esquinas del triángulo el doble del ángulo en ese punto, se desplaza la misma distancia para cada ángulo. Solo se utilizan reflejos pares del vértice original. El poliedro tiene el símbolo Wythoff | a b c .
El proceso en general también se aplica para politopos regulares de dimensiones superiores , incluidos los 4 politopos uniformes de 4 dimensiones .
El prisma hexagonal se construye a partir de las familias (6 2 2) y (3 2 2). | El mosaico cuadrado truncado está construido por dos posiciones de simetría diferentes en la familia (4 4 2). | Patrón Wythoff pq2 | = 432 |. Órbita del patrón de Wythoff de arriba bajo la acción del grupo octaédrico completo . |
Construcciones no wythoffianas
Los politopos uniformes que no se pueden crear mediante una construcción de espejo Wythoff se denominan no Wythoffianos. Por lo general, pueden derivarse de formas wythoffianas por alternancia (eliminación de vértices alternos) o por inserción de capas alternas de figuras parciales. Ambos tipos de figuras contendrán simetría rotacional. A veces DESAIRE formas se consideran Wythoffian, a pesar de que sólo pueden ser construidos por la alternancia de formas omnitruncated.
El antiprisma hexagonal se construye alternando un prisma dodecagonal . | El mosaico triangular alargado está construido por capas de mosaicos cuadrados y filas de mosaicos triangulares . | El gran dirhombicosidodecaedro es el único poliedro uniforme no wythoffiano. |
Ver también
- Símbolo de Wythoff : un símbolo de la construcción Wythoff de poliedros uniformes y mosaicos uniformes .
- Diagrama de Coxeter-Dynkin : símbolo generalizado de la construcción de Wythoff de politopos y panales uniformes .
Referencias
- Coxeter Regular Polytopes , Tercera edición, (1973), Edición Dover, ISBN 0-486-61480-8 (Capítulo V: El caleidoscopio, Sección: 5.7 Construcción de Wythoff)
- Coxeter La belleza de la geometría: Doce ensayos , Publicaciones de Dover, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Capítulo 3: Construcción de Wythoff para politopos uniformes)
- Har'El, Z. Solución uniforme para poliedros uniformes. , Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. [1] (Sección 4: El caleidoscopio)
- WA Wythoff , Una relación entre los politopos de la familia C600 , Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Actas de la Sección de Ciencias, 20 (1918) 966–970.
enlaces externos
- El subprograma de Greg Egan para mostrar poliedros uniformes utilizando el método de construcción de Wythoff
- Una representación de Shadertoy del método de construcción de Wythoff
- Jenn , software que genera vistas de poliedros (esféricos) y policoras a partir de grupos de simetría