En geometría , un triángulo de Schwarz , que lleva el nombre de Hermann Schwarz , es un triángulo esférico que se puede utilizar para enlosar una esfera ( mosaico esférico ), posiblemente superpuesto, a través de reflejos en sus bordes. Fueron clasificados en ( Schwarz 1873 ).
Estos pueden definirse más generalmente como teselaciones de la esfera, el plano euclidiano o el plano hiperbólico. Cada triángulo de Schwarz en una esfera define un grupo finito , mientras que en el plano euclidiano o hiperbólico definen un grupo infinito.
Un triángulo de Schwarz está representado por tres números racionales ( p q r ) cada uno de los cuales representa el ángulo en un vértice. El valor n / d significa que el ángulo del vértice es d / n del semicírculo. "2" significa un triángulo rectángulo. Cuando estos son números enteros, el triángulo se llama triángulo de Möbius y corresponde a un mosaico no superpuesto, y el grupo de simetría se llama grupo de triángulos . En la esfera hay tres triángulos de Möbius más una familia de un parámetro; en el plano hay tres triángulos de Möbius, mientras que en el espacio hiperbólico hay una familia de tres parámetros de triángulos de Möbius, y no hay objetos excepcionales .
Espacio de solución
Un triángulo de dominio fundamental ( p q r ), con ángulos de vértice π / p , π / q y π / r , puede existir en diferentes espacios dependiendo del valor de la suma de los recíprocos de estos números enteros:
Esto es simplemente una forma de decir que en el espacio euclidiano los ángulos interiores de un triángulo suman π , mientras que en una esfera suman un ángulo mayor que π , y en el espacio hiperbólico suman menos.
Representación grafica
Un triángulo de Schwarz se representa gráficamente mediante un gráfico triangular . Cada nodo representa un borde (espejo) del triángulo de Schwarz. Cada borde está etiquetado por un valor racional correspondiente al orden de reflexión, que es π / ángulo de vértice .
Triángulo de Schwarz ( p q r ) en esfera | Gráfico de triángulo de Schwarz |
Las aristas de orden 2 representan espejos perpendiculares que se pueden ignorar en este diagrama. El diagrama de Coxeter-Dynkin representa este gráfico triangular con bordes de orden 2 ocultos.
Se puede usar un grupo de Coxeter para una notación más simple, como ( p q r ) para gráficos cíclicos, y ( p q 2) = [ p , q ] para (triángulos rectángulos), y ( p 2 2) = [ p ] × [].
Una lista de triángulos de Schwarz
Triángulos de Moebius para la esfera
(2 2 2) o [2,2] | (3 2 2) o [3,2] | ... |
---|---|---|
(3 3 2) o [3,3] | (4 3 2) o [4,3] | (5 3 2) o [5,3] |
Los triángulos de Schwarz con números enteros, también llamados triángulos de Möbius , incluyen una familia de 1 parámetro y tres casos excepcionales :
- [ p , 2] o ( p 2 2) - Simetría diedro ,
- [3,3] o (3 3 2) - Simetría tetraédrica ,
- [4,3] o (4 3 2) - simetría octaédrica ,
- [5,3] o (5 3 2) - Simetría icosaédrica ,
Triángulos de Schwarz para la esfera por densidad
Los triángulos de Schwarz ( p q r ), agrupados por densidad :
Densidad | Diedro | Tetraédrico | Octaédrico | Icosaédrico |
---|---|---|---|---|
D | ( 2 2 n / d ) | |||
1 | ( 2 3 3) | ( 2 3 4) | ( 2 3 5) | |
2 | (3/2 3 3) | (3/2 4 4) | (3/2 5 5), (5/2 3 3) | |
3 | ( 2 3/2 3) | ( 2 5/2 5) | ||
4 | (3 4/3 4) | (3 5/3 5) | ||
5 | ( 2 3/2 3/2) | ( 2 3/2 4) | ||
6 | (3/2 3/2 3/2) | (5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5) | ||
7 | ( 2 3 4/3) | ( 2 3 5/2) | ||
8 | (3/2 5/2 5) | |||
9 | ( 2 5/3 5) | |||
10 | (3 5/3 5/2), (3 5/4 5) | |||
11 | ( 2 3/2 4/3) | ( 2 3/2 5) | ||
13 | ( 2 3 5/3) | |||
14 | (3/2 4/3 4/3) | (3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4) | ||
dieciséis | (3 5/4 5/2) | |||
17 | ( 2 3/2 5/2) | |||
18 | (3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2) | |||
19 | ( 2 3 5/4) | |||
21 | ( 2 5/4 5/2) | |||
22 | (3/2 3/2 5/2) | |||
23 | ( 2 3/2 5/3) | |||
26 | (3/2 5/3 5/3) | |||
27 | ( 2 5/4 5/3) | |||
29 | ( 2 3/2 5/4) | |||
32 | (3/2 5/4 5/3) | |||
34 | (3/2 3/2 5/4) | |||
38 | (3/2 5/4 5/4) | |||
42 | (5/4 5/4 5/4) |
Triángulos para el plano euclidiano
(3 3 3) | (4 4 2) | (6 3 2) |
Densidad 1:
- (3 3 3) - 60-60-60 ( equilátero ),
- (4 4 2) - 45-45-90 (isósceles derecha),
- (6 3 2) - 30-60-90 ,
Densidad 2:
- (6 6 3/2) - 120-30-30 triángulo
Densidad ∞:
- (4 4/3 ∞)
- (3 3/2 ∞)
- (6 6/5 ∞)
Triángulos para el plano hiperbólico
(7 3 2) | (8 3 2) | (5 4 2) |
(4 3 3) | (4 4 3) | (∞ ∞ ∞) |
Dominios fundamentales de ( p q r ) triángulos |
Densidad 1:
- (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞)
- (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
- (2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
- (2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
- (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞)
- (3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
- (3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
- (3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
- ...
- (∞ ∞ ∞)
Densidad 2:
- (3/2 7 7), (3/2 8 8), (3/2 9 9) ... (3/2 ∞ ∞)
- (5/2 4 4), (5/2 5 5), (5/2 6 6) ... (5/2 ∞ ∞)
- (7/2 3 3), (7/2 4 4), (7/2 5 5) ... (7/2 ∞ ∞)
- (9/2 3 3), (9/2 4 4), (9/2 5 5) ... (9/2 ∞ ∞)
- ...
Densidad 3:
- (2 7/2 7), (2 9/2 9), (2 11/2 11) ...
Densidad 4:
- (7/3 3 7), (8/3 3 8), (3 10/3 10), (3 11/3 11) ...
Densidad 6:
- (7/4 7 7), (9/4 9 9), (11/4 11 11) ...
- (7/2 7/2 7/2), (9/2 9/2 9/2), ...
Densidad 10:
- (3 7/2 7)
El triángulo de Schwarz (2 3 7) es el triángulo de Schwarz hiperbólico más pequeño y, como tal, es de particular interés. Su grupo de triángulos (o más precisamente el grupo de índice 2 von Dyck de isometrías que preservan la orientación) es el grupo de triángulos (2,3,7) , que es el grupo universal para todos los grupos de Hurwitz - grupos máximos de isometrías de superficies de Riemann . Todos los grupos de Hurwitz son cocientes del grupo de triángulos (2,3,7), y todas las superficies de Hurwitz están enlosadas por el triángulo (2,3,7) de Schwarz. El grupo de Hurwitz más pequeño es el grupo simple de orden 168, el segundo grupo simple no abeliano más pequeño , que es isomorfo a PSL (2,7) , y la superficie de Hurwitz asociada (del género 3) es el cuartico de Klein .
El triángulo (2 3 8) teja la superficie de Bolza , una superficie altamente simétrica (pero no de Hurwitz) del género 2.
Los triángulos con un ángulo no entero, enumerados arriba, fueron clasificados por primera vez por Anthony W. Knapp en. [1] Se da una lista de triángulos con múltiples ángulos no enteros. [2]
Ver también
Referencias
- ^ AW Knapp, Grupos fucsianos doblemente generados , Michigan Mathematics Journal 15 (1968), no. 3, 289-304
- ^ Klimenko y Sakuma, subgrupos discretos de dos generadores de Isom (H 2) que contienen elementos de inversión de orientación , Geometriae Dedicata, octubre de 1998, volumen 72, número 3, págs. 247-282
- Coxeter, HSM (1973), Politopos regulares (Tercera ed.), Publicaciones de Dover, ISBN 0-486-61480-8, Tabla 3: Triángulos de Schwarz
- Magnus, Wilhelm (1974), Teselaciones no euclidianas y sus grupos , Academic Press, ISBN 0080873774
- Schwarz, HA (1873), "Ueber diejenigen Fälle in welchen die Gaussichen hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1873 (75): 292–335, doi : 10.1573.75 / crll.18 .292 , ISSN 0075-4102 , S2CID 121698536 (Tenga en cuenta que Coxeter hace referencia a esto como "Zur Theorie der hypergeometrischen Reihe", que es el título corto utilizado en los encabezados de las páginas de la revista).
- Wenninger, Magnus J. (1979), "Introducción a la noción de densidad poliédrica", Modelos esféricos , Archivo CUP, págs. 132-134 , ISBN 978-0-521-22279-2
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Triángulo de Schwarz" . MathWorld .
- Klitzing, Richard. "3D El triángulo de Schwarz general (pqr) y las matrices de incidencia generalizada de los correspondientes poliedros" .