En combinatoria , se dice que dos cuadrados latinos del mismo tamaño ( orden ) son ortogonales si, cuando se superponen, las entradas pareadas ordenadas en las posiciones son todas distintas. Un conjunto de cuadrados latinos, todos del mismo orden, todos los pares de los cuales son ortogonales, se denomina conjunto de cuadrados latinos mutuamente ortogonales . Este concepto de ortogonalidad en combinatoria está fuertemente relacionado con el concepto de bloqueo en estadística., lo que garantiza que las variables independientes sean verdaderamente independientes sin correlaciones de confusión ocultas. Por tanto, "ortogonal" es sinónimo de "independiente" en el sentido de que conocer el valor de una variable no proporciona más información sobre el valor probable de otra variable.
Un par de cuadrados latinos ortogonales se ha llamado tradicionalmente un cuadrado grecolatino , aunque ese término ahora está algo anticuado.
Cuadrados grecolatinos
Un cuadrado grecolatino o cuadrado de Euler o un par de cuadrados latinos ortogonales de orden n sobre dos conjuntos S y T (que pueden ser iguales), cada uno de los cuales consta de n símbolos, es una disposición n × n de celdas, cada celda contiene un par ordenado ( s , t ) , donde s está en S y t está en T , de modo que cada fila y cada columna contiene cada elemento de S y cada elemento de T exactamente una vez, y que no hay dos celdas que contengan el mismo par ordenado.
- Cuadrados grecolatinos (pares de cuadrados latinos ortogonales)
Orden 3
Orden 4
Orden 5
La disposición de las coordenadas s por sí mismas (que pueden considerarse caracteres latinos) y de las coordenadas t (los caracteres griegos) forman cada una un cuadrado latino . Por tanto, un cuadrado grecolatino se puede descomponer en dos cuadrados latinos ortogonales. La ortogonalidad aquí significa que cada par ( s , t ) del producto cartesiano S × T ocurre exactamente una vez.
Los cuadrados latinos ortogonales fueron estudiados en detalle por Leonhard Euler , quien tomó los dos conjuntos como S = { A , B , C , ... }, las primeras n letras mayúsculas del alfabeto latino , y T = {α, β, γ, ... }, las primeras n letras minúsculas del alfabeto griego, de ahí el nombre cuadrado grecolatino.
Existencia
Cuando un cuadrado grecolatino se ve como un par de cuadrados latinos ortogonales, se dice que cada uno de los cuadrados latinos tiene una relación de posición ortogonal . En un cuadrado latino arbitrario, una selección de posiciones, una en cada fila y una en cada columna, cuyas entradas son todas distintas, se llama transversal de ese cuadrado. [1] Considere un símbolo en un cuadrado grecolatino. Las posiciones que contienen este símbolo deben estar todas en filas y columnas diferentes y, además, el otro símbolo en estas posiciones debe ser distinto. Por lo tanto, cuando se ve como un par de cuadrados latinos, las posiciones que contienen un símbolo en el primer cuadrado corresponden a una transversal en el segundo cuadrado (y viceversa).
Un cuadrado latino dado de orden n posee una relación de posición ortogonal si y solo si tiene n transversales disjuntas. [2]
La mesa Cayley (sin bordes) de cualquier grupo de orden impar forma un cuadrado latino que posee un mate ortogonal. [2]
Por lo tanto, existen cuadrados grecolatinos para todos los órdenes impares, ya que existen grupos de estos órdenes. Se dice que estos cuadrados grecolatinos están basados en grupos .
Euler fue capaz de construir cuadrados grecolatinos de órdenes que son múltiplos de cuatro, [2] y pareció darse cuenta del siguiente resultado.
No pueden existir cuadrados grecolatinos basados en grupos si el orden es un múltiplo impar de dos (es decir, igual a 4 k + 2 para algún entero positivo k ). [3]
Historia
Aunque reconocido por su tratamiento matemático original del tema, los cuadrados latinos ortogonales son anteriores a Euler. En forma de un viejo rompecabezas que involucraba naipes , [4] Jacques Ozanam publicó la construcción de un juego de 4 x 4 en 1725. [5] El problema era tomar todos los ases, reyes, reinas y jotas de un mazo estándar. de cartas y colóquelas en una cuadrícula de 4 x 4 de modo que cada fila y cada columna contengan los cuatro palos, así como uno de cada valor nominal. Este problema tiene varias soluciones.
Una variante común de este problema era organizar las 16 cartas de modo que, además de las restricciones de filas y columnas, cada diagonal contenga los cuatro valores nominales y también los cuatro palos.
Según Martin Gardner , quien presentó este problema en su columna de Juegos Matemáticos de noviembre de 1959 , [6] Rouse Ball declaró incorrectamente que el número de soluciones distintas era 72 . Este error persistió durante muchos años hasta que Kathleen Ollerenshaw encontró el valor correcto de 144 . Cada una de las 144 soluciones tiene ocho reflexiones y rotaciones, dando 1152 soluciones en total. Las soluciones de 144 × 8 se pueden clasificar en las siguientes dos clases de equivalencia :
Solución | Forma normal |
---|---|
Solución # 1 | A ♠ K ♥ Q ♦ J ♣ Q ♣ J ♦ A ♥ K ♠ J ♥ Q ♠ K ♣ A ♦ K ♦ A ♣ J ♠ Q ♥ |
Solución # 2 | A ♠ K ♥ Q ♦ J ♣ J ♦ Q ♣ K ♠ A ♥ K ♣ A ♦ J ♥ Q ♠ Q ♥ J ♠ A ♣ K ♦ |
Para cada una de las dos soluciones, se pueden derivar 24 × 24 = 576 soluciones permutando los cuatro palos y los cuatro valores nominales, independientemente. Ninguna permutación convertirá las dos soluciones entre sí, porque los trajes y los valores nominales no son lo mismo.
Problema de treinta y seis oficiales
![Euler 36.svg](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/b/b5/Euler_36.svg/220px-Euler_36.svg.png)
Un problema similar al problema de la tarjeta anterior estaba circulando en San Petersburgo a fines del siglo XVIII y, según el folclore, Catalina la Grande le pidió a Euler que lo resolviera, ya que él residía en su corte en ese momento. [7] Este problema se conoce como el problema de los treinta y seis oficiales , [8] y Euler lo presentó de la siguiente manera: [9] [10]
Una pregunta muy curiosa, que ha ejercitado durante algún tiempo el ingenio de muchas personas, me ha involucrado en los siguientes estudios, que parecen abrir un nuevo campo de análisis, en particular el estudio de las combinaciones. La cuestión gira en torno a la disposición de 36 oficiales de 6 regimientos diferentes para que estén alineados en un cuadrado de modo que en cada línea (tanto horizontal como vertical) haya 6 oficiales de diferentes rangos y diferentes regimientos.
- Leonhard Euler
Conjetura y refutación de Euler
Euler no pudo resolver el problema, pero en este trabajo demostró métodos para construir cuadrados grecolatinos donde n es impar o un múltiplo de 4. Observando que no existe ningún cuadrado de orden dos y no pudiendo construir un cuadrado de orden seis, conjeturó que no existe ninguno para ningún número par n ≡ 2 ( mod 4). La inexistencia del orden seis cuadrados fue confirmada en 1901 por Gaston Tarry mediante una prueba por agotamiento . [11] [12] Sin embargo, la conjetura de Euler resistió la solución hasta finales de la década de 1950, pero el problema ha llevado a un trabajo importante en combinatoria . [13]
En 1959, RC Bose y SS Shrikhande construyeron algunos contraejemplos (apodados los spoilers de Euler ) de orden 22 utilizando conocimientos matemáticos. [14] Luego ET Parker encontró un contraejemplo de orden 10 usando una búsqueda por computadora de una hora en una computadora militar UNIVAC 1206 mientras trabajaba en la división UNIVAC de Remington Rand (este fue uno de los primeros problemas combinatorios resueltos en una computadora digital ).
En abril de 1959, Parker, Bose y Shrikhande presentaron su artículo que mostraba que la conjetura de Euler era falsa para todo n ≥ 10. [15] Por lo tanto, los cuadrados grecolatinos existen para todos los órdenes n > 1 excepto n = 2, 6. En el En la edición de noviembre de 1959 de Scientific American, Martin Gardner publicó este resultado. [6] La portada es la refutación de 10 × 10 de la conjetura de Euler.
Ejemplos de cuadrados latinos mutuamente ortogonales (MOLS)
Un conjunto de cuadrados latinos del mismo orden de modo que cada par de cuadrados sea ortogonal (es decir, que forme un cuadrado grecolatino) se denomina conjunto de cuadrados latinos mutuamente ortogonales (o cuadrados latinos ortogonales por pares ) y generalmente se abrevia como MOLS o MOLS ( n ) cuando el pedido se hace explícito.
Por ejemplo, un conjunto de MOLS (4) viene dado por: [16]
Y un juego de MOLS (5): [17]
Si bien es posible representar MOLS en una forma de matriz "compuesta" similar a los cuadrados grecolatinos, por ejemplo,
1,1,1,1 2,2,2,2 3,3,3,3 4,4,4,4 5,5,5,5 2,3,5,4 3,4,1,5 4,5,2,1 5,1,3,2 1,2,4,3 3,5,4,2 4,1,5,3 5,2,1,4 1,3,2,5 2,4,3,1 4,2,3,5 5,3,4,1 1,4,5,2 2,5,1,3 3,1,2,4 5,4,2,3 1,5,3,4 2,1,4,5 3,2,5,1 4,3,1,2
para el ejemplo de MOLS (5) anterior, es más típico representar de forma compacta los MOLS como una matriz ortogonal (ver más abajo ). [18]
En los ejemplos de MOLS dados hasta ahora, se ha utilizado el mismo alfabeto (conjunto de símbolos) para cada cuadrado, pero esto no es necesario como muestran los cuadrados grecolatinos. De hecho, se pueden utilizar conjuntos de símbolos totalmente diferentes para cada cuadrado del conjunto de MOLS. Por ejemplo,
fiordos | mandíbula | flema | qiviut | zincky |
zincky | fiordos | mandíbula | flema | qiviut |
qiviut | zincky | fiordos | mandíbula | flema |
flema | qiviut | zincky | fiordos | mandíbula |
mandíbula | flema | qiviut | zincky | fiordos |
es una representación del ejemplo compuesto MOLS (5) anterior donde los cuatro MOL tienen los siguientes alfabetos, respectivamente:
- el color de fondo: negro , granate , verde azulado , azul marino y plateado
- el color de primer plano: blanco , rojo , lima , azul y amarillo
- el texto: fiordos , mandíbula , flema , qiviut y zincky
- la familia tipográfica: serif , sans-serif , slab-serif , cursiva y monoespaciada.
El número de cuadrados latinos mutuamente ortogonales
La propiedad de ortogonalidad mutua de un conjunto de MOLS no se ve afectada por
- Permutando las filas de todos los cuadrados simultáneamente,
- Permutando las columnas de todos los cuadrados simultáneamente, y
- Permutando las entradas en cualquier cuadrado, de forma independiente.
Usando estas operaciones, cualquier conjunto de MOLS se puede poner en forma estándar , lo que significa que la primera fila de cada cuadrado es idéntica y normalmente se pone en algún orden natural, y un cuadrado tiene su primera columna también en este orden. [19] Los ejemplos de MOLS (4) y MOLS (5) al comienzo de esta sección se han puesto en forma estándar.
Al poner un conjunto de MOLS ( n ) en forma estándar y examinar las entradas en la segunda fila y la primera columna de cada cuadrado, se puede ver que no pueden existir más de n - 1 cuadrados. [20] Un conjunto de n - 1 MOLS ( n ) se denomina conjunto completo de MOLS . Se sabe que existen conjuntos completos cuando n es un número primo o potencia de un número primo (consulte la construcción de campos finitos a continuación ). Sin embargo, el número de MOLS que pueden existir para un orden dado n no se conoce para n general , y es un área de investigación en combinatoria .
Planos proyectivos
Un conjunto de n - 1 MOLS ( n ) es equivalente a un plano afín finito de orden n (ver Redes a continuación ). [10] Como cada plano afín finito es únicamente extensible a un plano proyectivo finito del mismo orden, esta equivalencia también puede expresarse en términos de la existencia de estos planos proyectivos. [21]
Como se mencionó anteriormente, existen conjuntos completos de MOLS ( n ) si n es una potencia principal o principal, por lo que existen planos proyectivos de tales órdenes. No se sabe que existan planos proyectivos finitos con un orden diferente de estos y, por lo tanto, conjuntos completos de MOLS de tales órdenes. [10]
El resultado único general sobre la no existencia de planos proyectivos finitos es el teorema Bruck-Ryser , que dice que si un plano proyectivo de orden n existe y n ≡ 1 (mod 4) o n ≡ 2 (mod 4), entonces n debe ser la suma de dos cuadrados (enteros). [22] Esto descarta planos proyectivos de órdenes 6 y 14, por ejemplo, pero no garantiza la existencia de un plano cuando n satisface la condición. En particular, n = 10 satisface las condiciones, pero no existe un plano proyectivo de orden 10, como lo demostró una búsqueda informática muy larga, [23] lo que a su vez implica que no existen nueve MOLS de orden 10.
No se conocen otros resultados de existencia. A partir de 2020,[actualizar]el orden más pequeño para el que no se ha determinado la existencia de un conjunto completo de MOLS es, por tanto, 12. [10]
Teorema de McNeish
Se sabe que el número mínimo de MOLS ( n ) es 2 para todo n excepto para n = 2 o 6, donde es 1. Sin embargo, se puede decir más, a saber, [24]
Teorema de MacNeish : sies la factorización del número entero n en potencias de primos distintos luego
- el número mínimo de MOLS ( n )
El teorema de MacNeish no da un límite inferior muy bueno, por ejemplo, si n ≡ 2 (mod 4), es decir, hay un solo 2 en la factorización prima, el teorema da un límite inferior de 1, que se supera si n > 6. Por otro lado, da el valor correcto cuando n es una potencia de un primo.
Para números compuestos generales, se desconoce el número de MOLS. Los primeros valores que comienzan con n = 2, 3, 4 ... son 1, 2, 3, 4, 1, 6, 7, 8, ... (secuencia A001438 en la OEIS ).
El caso más pequeño para el cual no se conoce el número exacto de MOLS ( n ) es n = 10. De la construcción del cuadrado grecolatino, debe haber al menos dos y de la inexistencia de un plano proyectivo de orden 10, hay son menos de nueve. Sin embargo, nunca se ha encontrado un conjunto de tres MOLS (10) a pesar de que muchos investigadores han intentado descubrir tal conjunto. [25]
Para n suficientemente grande , el número de MOLS es mayor que, por lo tanto, para cada k , solo hay un número finito de n tal que el número de MOLS es k . [26] Además, el mínimo es 6 para todos los n > 90.
Construcción de campo finito
Existe un conjunto completo de MOLS ( q ) siempre que q es una potencia principal o principal. Esto se deriva de una construcción que se basa en un campo finito GF ( q ), que solo existe si q es una potencia prima o prima. [27] El grupo multiplicativo de GF ( q ) es un grupo cíclico , por lo que tiene un generador, λ, lo que significa que todos los elementos distintos de cero del campo se pueden expresar como potencias distintas de λ. Nombra los q elementos de GF ( q ) de la siguiente manera:
- α 0 = 0, α 1 = 1, α 2 = λ, α 3 = λ 2 , ..., α q -1 = λ q -2 .
Ahora, λ q -1 = 1 y la regla del producto en términos de α es α i α j = α t , donde t = i + j -1 (mod q -1). Los cuadrados latinos se construyen de la siguiente manera, la entrada ( i, j ) ésima en el cuadrado latino L r (con r ≠ 0) es L r ( i, j ) = α i + α r α j , donde todas las operaciones ocurren en GF ( q ). En el caso de que el campo sea un campo primo ( q = p un primo), donde los elementos del campo se representan de la manera habitual, como los números enteros módulo p , la convención de nomenclatura anterior se puede eliminar y la regla de construcción se puede simplificar a L r ( i, j ) = i + rj , donde r ≠ 0 y i , j y r son elementos de GF ( p ) y todas las operaciones están en GF ( p ). Los ejemplos MOLS (4) y MOLS (5) anteriores surgieron de esta construcción, aunque con un cambio de alfabeto.
No todos los juegos completos de MOLS surgen de esta construcción. El plano proyectivo que se asocia con el conjunto completo de MOLS obtenido de esta construcción de campo es un tipo especial, un plano proyectivo desarguesiano . Existen planos proyectivos no desarguesianos y sus correspondientes conjuntos completos de MOLS no se pueden obtener a partir de campos finitos. [28]
Matriz ortogonal
Una matriz ortogonal , OA ( k, n ), de fuerza dos e índice uno es una matriz A n 2 × k ( k ≥ 2 yn ≥ 1, enteros) con entradas de un conjunto de tamaño n tal que dentro de dos columnas cualesquiera de A ( fuerza ), cada par ordenado de símbolos aparece exactamente en una fila de A ( índice ). [29]
Un OA ( s + 2, n ) es equivalente a s MOLS ( n ). [29] Por ejemplo, el ejemplo de MOLS (4) dado anteriormente y repetido aquí,
se puede utilizar para formar un OA (5,4):
r C L 1 L 2 L 3 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 3 3 3 3 1 4 4 4 4 2 1 2 4 3 2 2 1 3 4 2 3 4 2 1 2 4 3 1 2 3 1 3 2 4 3 2 4 1 3 3 3 1 4 2 3 4 2 3 1 4 1 4 3 2 4 2 3 4 1 4 3 2 1 4 4 4 1 2 3
donde las entradas en las columnas etiquetadas r y c denotan la fila y columna de una posición en un cuadrado y el resto de la fila para valores fijos de r y c se llena con la entrada en esa posición en cada uno de los cuadrados latinos. Este proceso es reversible; dado un OA ( s , n ) con s ≥ 3, elija dos columnas para desempeñar los roles r y c y luego complete los cuadrados latinos con las entradas en las columnas restantes.
Las matrices ortogonales más generales representan generalizaciones del concepto de MOLS, como cubos latinos mutuamente ortogonales.
Redes
Una (geométrica) ( k, n ) -net es un conjunto de n 2 elementos llamados puntos y un conjunto de kn subconjuntos llamados líneas o bloques cada uno de tamaño n con la propiedad de que dos líneas distintas se cruzan en un punto como máximo. Además, las líneas se pueden dividir en k clases paralelas (no se unen dos de sus líneas), cada una de las cuales contiene n líneas. [30]
An ( n + 1, n ) -net es un plano afín de orden n .
Un conjunto de k MOLS ( n ) es equivalente a a ( k + 2, n ) -net. [10]
Para construir una ( k + 2, n ) -net a partir de k MOLS ( n ), represente los MOLS como una matriz ortogonal, OA ( k + 2, n ) (ver arriba ). Los pares ordenados de entradas en cada fila de la matriz ortogonal en las columnas etiquetadas r y c , se considerarán las coordenadas de los n 2 puntos de la red. Las demás columnas (es decir, el cuadrado latino) se utilizarán para definir las líneas en una clase paralela. Las n líneas determinadas por la columna denominada L i se denotarán con l ij . Los puntos en l ij serán aquellos con coordenadas correspondientes a las filas donde la entrada en la columna L i es j . Hay dos clases paralelas adicionales, correspondientes a las columnas r y c . Las rectas r j y c j constan de los puntos cuyas primeras coordenadas son j , o las segundas coordenadas son j respectivamente. Esta construcción es reversible. [31]
Por ejemplo, el OA (5,4) en la sección anterior se puede utilizar para construir un (5,4) -net (un plano afín de orden 4). Los puntos en cada línea están dados por (cada fila a continuación es una clase de líneas paralelas):
l 11 : (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) l 12 : (1,2) (2,1) (3,4) (4,3) l 13 : (1,3) (2,4) (3,1) (4,2) l 14 : (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) l 21 : (1,1) (2,4) (3,2) (4,3) l 22 : (1,2) (2,3) (3,1) (4,4) l 23 : (1,3) (2,2) (3,4) (4,1) l 24 : (1,4) (2,1) (3,3) (4,2) l 31 : (1,1) (2,3) (3,4) (4,2) l 32 : (1, 2) (2, 4) (3, 3) (4, 1) l 33 : (1,3) (2,1) (3,2) (4,4) l 34 : (1,4) (2,2) (3,1) (4,3) r 1 : (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) r 2 : (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) r 3 : (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) r 4 : (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) c 1 : (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) c 2 : (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) c 3 : (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) c 4 : (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)
Diseños transversales
Un diseño transversal con k grupos de tamaño n e índice λ, denotado T [ k , λ; n ], es un triple ( X, G, B ) donde: [32]
- X es un conjunto de variedades kn ;
- G = { G 1 , G 2 , ..., G k } es una familia de conjuntos de kn (llamados grupos , pero no en el sentido algebraico) que forman una partición de X ;
- B es una familia de k -conjuntos (llamados bloques ) de variedades de modo que cada k -conjunto en B interseca a cada grupo G i precisamente en una variedad, y cualquier par de variedades que pertenezcan a diferentes grupos se encuentran juntas en bloques precisamente λ en B .
La existencia de un T [ k , 1; n ] diseño es equivalente a la existencia de k -2 MOLS ( n ). [33]
Un diseño transversal T [ k , 1; n ] es la estructura de incidencia dual de una ( k, n ) -net. Es decir, tiene nk puntos y n 2 bloques. Cada punto está en n bloques; cada bloque contiene k puntos. Los puntos se clasifican en k clases de equivalencia (grupos) de tamaño n, de modo que dos puntos del mismo grupo no están contenidos en un bloque, mientras que dos puntos de diferentes grupos pertenecen exactamente a un bloque. [34]
Por ejemplo, usando la (5,4) -net de la sección anterior podemos construir un diseño transversal T [5,1; 4]. El bloque asociado con el punto ( i, j ) de la red se denominará b ij . Los puntos del diseño se obtendrán del siguiente esquema: r i ↔ i , c j ↔ 5 j , y l ij ↔ 5 i + j . Por tanto, los puntos del diseño se indican con los números enteros 1, ..., 20. Los bloques del diseño son:
b 11 : 6 11 16 1 5 b 22 : 6 13 19 2 10 b 33 : 6 14 17 3 15 b 44 : 6 12 18 4 20 b 12 : 7 12 17 1 10 b 21 : 7 14 18 2 5 b 34 : 7 13 16 3 20 b 43 : 7 11 19 4 15 b 13 : 8 13 18 1 15 b 24 : 8 11 17 2 20 b 31 : 8 12 19 3 5 b 42 : 8 14 16 4 10 b 14 : 9 14 19 1 20 b 23 : 9 12 16 2 15 b 32 : 9 11 18 3 10 b 41 : 9 13 17 4 5
Los cinco "grupos" son:
6 7 8 9 11 12 13 14 16 17 18 19 1 2 3 4 5 10 15 20
Teoría de grafos
Un conjunto de k MOLS ( n ) es equivalente a una partición de borde del grafo completo ( k + 2) -partita K n , ..., n en subgrafos completos de orden k + 2. [10]
Aplicaciones
Los cuadrados latinos mutuamente ortogonales tienen una gran variedad de aplicaciones. Se utilizan como punto de partida para las construcciones en el diseño estadístico de experimentos , programación de torneos y códigos de corrección y detección de errores . El interés de Euler por los cuadrados grecolatinos surgió de su deseo de construir cuadrados mágicos . El escritor francés Georges Perec estructuró su novela Life: A User's Manual de 1978 en torno a un cuadrado grecolatino de 10 × 10.
Ver también
- 36 cubo
- Diseño de bloque
- Bloqueo (estadísticas)
- Diseño combinatorio
Notas
- ↑ Esto ha recibido varios nombres en la literatura, fórmula directriz (Euler), directriz , 1-permutación y diagonal, entre otros. ( Denes y Keedwell 1974 , p. 29)
- ↑ a b c Denes y Keedwell , 1974 , p. 155
- ^ Denes y Keedwell 1974 , p. 156
- ^ Knuth, Donald (2011), El arte de la programación informática , 4A: Parte 1 de algoritmos combinatorios, Addison-Wesley, págs. Xv + 883pp, ISBN 978-0-201-03804-0. Errata: [1]
- ^ Ozanam, Jacques (1725), Recreación matemática y física , IV , p. 434, la solución está en la Fig.35
- ↑ a b Gardner , 1966 , págs. 162-172
- ↑ van Lint y Wilson , 1993 , p.251
- ^ PA MacMahon (1902). "Cuadrados mágicos y otros problemas en un tablero de ajedrez" . Actas de la Royal Institution of Great Britain . XVII : 50–63.
- ↑ Euler: Recherches sur une nouvelle espece de quarres magiques , escrito en 1779 , publicado en 1782
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- ^ Tarry, Gaston (1900). "Le Probléme de 36 Officiers". Compte Rendu de l'Association Française pour l'Avancement des Sciences . Secrétariat de l'Association. 1 : 122-123.
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- ^ El término "orden" utilizado aquí para MOLS, planos afines y planos proyectivos se define de manera diferente en cada entorno, pero estas definiciones están coordinadas de modo que el valor numérico sea el mismo.
- ^ Bruck, RH; Ryser, HJ (1949), "La inexistencia de ciertos planos proyectivos finitos", Canadian Journal of Mathematics , 1 : 88–93, doi : 10.4153 / cjm-1949-009-2
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Referencias
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enlaces externos
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- Weisstein, Eric W. "Problema de 36 oficiales" . MathWorld .
- El trabajo de Euler sobre los cuadrados latinos y los cuadrados de Euler en Convergence
- Herramienta Java que ayuda a construir cuadrados grecolatinos (no los construye por sí mismo) al cortar el nudo
- Cualquier cosa menos cuadrado: desde cuadrados mágicos hasta Sudoku
- Hechos históricos y correlación con Magic Squares, Aplicación Javascript para resolver Cuadrados Graeco-Latinos desde tamaño 1x1 a 10x10 y código fuente relacionado (Javascript en navegador Firefox y dispositivos móviles HTML5)
- Grime, James. "Euler Squares" (video) . YouTube . Brady Haran . Consultado el 9 de mayo de 2020 .