álgebra exterior

En matemáticas , el producto exterior o cuña de vectores es una construcción algebraica utilizada en geometría para estudiar áreas , volúmenes y sus análogos de dimensiones superiores. El producto exterior de dos vectores y  , denotado por , se llama bivector y vive en un espacio llamado cuadrado exterior , un espacio vectorial que es distinto del espacio original de vectores. La magnitud ^[3] de puede interpretarse como el área del paralelogramo de lados y ${\ estilo de visualización u}$${\ estilo de visualización v}$${\displaystyle u\cuña v}$${\displaystyle u\cuña v}$${\ estilo de visualización u}$${\ estilo de visualización v}$, que en tres dimensiones también se puede calcular utilizando el producto vectorial de los dos vectores. Más generalmente, todas las superficies planas paralelas con la misma orientación y área tienen el mismo bivector como medida de su área orientada . Al igual que el producto cruz, el producto exterior es anticonmutativo , lo que significa que para todos los vectores y  , pero, a diferencia del producto cruz, el producto exterior es asociativo .${\displaystyle u\cuña v=-(v\cuña u)}$${\ estilo de visualización u}$${\ estilo de visualización v}$

Cuando se considera de esta manera, el producto exterior de dos vectores se llama 2 palas . De manera más general, el producto exterior de cualquier número k de vectores se puede definir y, a veces, se le llama k -blade. Vive en un espacio conocido como la k- ésima potencia exterior. La magnitud de la hoja k resultante es el hipervolumen orientado del paralelotopo de dimensión k cuyos bordes son los vectores dados, al igual que la magnitud del triple producto escalar de vectores en tres dimensiones da el volumen del paralelepípedo generado por esos vectores.

El álgebra exterior , o álgebra de Grassmann según Hermann Grassmann , ^[4] es el sistema algebraico cuyo producto es el producto exterior. El álgebra exterior proporciona un entorno algebraico en el que responder preguntas geométricas. Por ejemplo, las hojas tienen una interpretación geométrica concreta y los objetos en el álgebra exterior se pueden manipular de acuerdo con un conjunto de reglas inequívocas. El álgebra exterior contiene objetos que no son solo k -hojas, sino sumas de k -hojas; tal suma se llama k -vector . ^[5] La k-los álabes, por ser productos simples de vectores, se denominan elementos simples del álgebra. El rango de cualquier k -vector se define como el menor número de elementos simples de los que es una suma. El producto exterior se extiende al álgebra exterior completa, por lo que tiene sentido multiplicar dos elementos cualesquiera del álgebra. Equipado con este producto, el álgebra exterior es un álgebra asociativa , lo que significa que para cualquier elemento . Los k -vectores tienen grado k , lo que significa que son sumas de productos de k vectores. Cuando se multiplican elementos de diferentes grados, los grados se suman como la multiplicación de polinomios${\ estilo de visualización \ alfa \ cuña (\ beta \ cuña \ gamma) = (\ alfa \ cuña \ beta) \ cuña \ gamma}$${\ estilo de visualización \ alfa, \ beta, \ gamma}$. Esto significa que el álgebra exterior es un álgebra graduada .

La orientación invertida corresponde a la negación del producto exterior.

Interpretación geométrica de elementos de grado n en un álgebra exterior real para n = 0 (punto con signo), 1 (segmento de línea dirigido o vector), 2 (elemento plano orientado), 3 (volumen orientado). El producto exterior de n vectores se puede visualizar como cualquier forma n -dimensional (p. ej ., n - paralelotopo , n - elipsoide ); con magnitud ( hipervolumen ) y orientación definida por la de su límite dimensional ( n − 1) y de qué lado está el interior. ^{[1] [2]}

El área de un paralelogramo en términos del determinante de la matriz de coordenadas de dos de sus vértices.

El producto cruz ( vector azul ) en relación con el producto exterior ( paralelogramo azul claro ). La longitud del producto vectorial es a la longitud del vector unitario paralelo ( rojo ) como el tamaño del producto exterior es al tamaño del paralelogramo de referencia ( rojo claro ).

Interpretación geométrica para el producto exterior de n 1-formas ( ε , η , ω ) para obtener una n -forma ("malla" de superficies coordinadas , aquí planos), ^[12] para n = 1, 2, 3 . Las "circulaciones" muestran orientación . ^{[13] [14]}