Una gran elipse es una elipse que pasa por dos puntos de un esferoide y tiene el mismo centro que el del esferoide. De manera equivalente, es una elipse en la superficie de un esferoide y centrada en el origen , o la curva formada al cruzar el esferoide por un plano que pasa por su centro. [1] Para los puntos que están separados por menos de aproximadamente un cuarto de la circunferencia de la tierra , aproximadamente, la longitud de la gran elipse que conecta los puntos está cerca (dentro de una parte en 500,000) a la distancia geodésica . [2] [3] [4] La gran elipse, por lo tanto, a veces se propone como una ruta adecuada para la navegación marítima. La gran elipse es un caso especial de una trayectoria de sección de tierra .
Introducción
Suponga que el esferoide, un elipsoide de revolución, tiene un radio ecuatorial y semieje polar . Definir el aplanamiento, la excentricidad , y la segunda excentricidad . Considere dos puntos: en latitud (geográfica) y longitud y en latitud y longitud . La gran elipse de conexión (de a ) tiene longitud y tiene azimuts y en los dos puntos finales.
Hay varias formas de mapear un elipsoide en una esfera de radio. de tal manera que mapee la gran elipse en un gran círculo, permitiendo que se utilicen los métodos de navegación del gran círculo :
- El elipsoide se puede estirar en una dirección paralela al eje de rotación; esto traza un punto de latitud en el elipsoide hasta un punto de la esfera con latitud , la latitud paramétrica .
- Un punto del elipsoide puede mapearse radialmente en la esfera a lo largo de la línea que lo conecta con el centro del elipsoide; esto traza un punto de latitud en el elipsoide hasta un punto de la esfera con latitud , la latitud geocéntrica .
- El elipsoide se puede estirar en un elipsoide alargado con semieje polar y luego mapeado radialmente en la esfera; esto conserva la latitud: la latitud en la esfera es, la latitud geográfica .
El último método proporciona una manera fácil de generar una sucesión de puntos de paso en la gran elipse que conecta dos puntos conocidos. y . Resuelve el gran círculo entre y y encuentre los puntos de paso en el gran círculo . Estos se asignan a puntos de paso en la gran elipse correspondiente.
Mapeo de la gran elipse a un gran círculo
Si se necesitan distancias y encabezados, lo más sencillo es utilizar la primera de las asignaciones. [5] En detalle, el mapeo es el siguiente (esta descripción se tomó de [6] ):
- La latitud geográfica en los mapas elipsoides a la latitud paramétrica en la esfera, donde
- La longitud no ha cambiado.
- El azimut en los mapas elipsoides a un acimut en la esfera donde
y los cuadrantes de y son lo mismo. - Posiciones en el gran círculo de radio están parametrizados por la longitud del arco medido desde el cruce del ecuador hacia el norte. La gran elipse tiene semiejes. y , dónde es el acimut del círculo máximo en el cruce del ecuador hacia el norte, y es el ángulo paramétrico de la elipse.
(Un mapeo similar a una esfera auxiliar se realiza en la solución de geodésicas sobre un elipsoide . Las diferencias son que el acimut se conserva en el mapeo, mientras que la longitud se asigna a una longitud "esférica" . La elipse equivalente utilizada para los cálculos de distancia tiene semiejes y .)
Resolviendo el problema inverso
El "problema inverso" es la determinación de , , y , dadas las posiciones de y . Esto se resuelve computando y y resolviendo el gran círculo entre y .
Los azimuts esféricos se vuelven a etiquetar como (de ). Por lo tanto, , y y los azimuts esféricos en el ecuador y en y . Los azimuts de los puntos finales de la gran elipse, y , se calculan a partir de y .
Los semiejes de la gran elipse se pueden encontrar usando el valor de .
También se determinan como parte de la solución del problema del círculo máximo las longitudes de arco, y , medido desde el ecuador hasta y . La distanciase encuentra calculando la longitud de una porción del perímetro de la elipse usando la fórmula que da el arco del meridiano en términos de latitud paramétrica . Al aplicar esta fórmula, use los semiejes para la gran elipse (en lugar de para el meridiano) y sustituya y por .
La solución del "problema directo", determinando la posición de dado , , y , se puede encontrar de manera similar (esto requiere, además, la fórmula de la distancia del meridiano inverso ). Esto también permite encontrar puntos de paso (por ejemplo, una serie de puntos intermedios igualmente espaciados) en la solución del problema inverso.
Ver también
Referencias
- ^ Sociedad estadounidense de ingenieros civiles (1994), Glosario de ciencia cartográfica , Publicaciones de ASCE, p. 172, ISBN 9780784475706.
- ^ Bowring, BR (1984). "Las soluciones directas e inversas para la gran línea elíptica en el elipsoide de referencia". Boletín Géodésique . 58 (1): 101–108. Código Bibliográfico : 1984BGeod..58..101B . doi : 10.1007 / BF02521760 . S2CID 123161737 .
- ^ Williams, R. (1996). "La gran elipse en la superficie del esferoide". Revista de navegación . 49 (2): 229–234. Código Bibliográfico : 1996JNav ... 49..229W . doi : 10.1017 / S0373463300013333 .
- ^ Walwyn, PR (1999). "La gran solución de elipse para distancias y rumbos para dirigir entre waypoints". Revista de navegación . 52 (3): 421–424. Código Bibliográfico : 1999JNav ... 52..421W . doi : 10.1017 / S0373463399008516 .
- ^ Sjöberg, LE (2012c). "Soluciones a los problemas de navegación directa e inversa en la gran elipse" . Revista de ciencia geodésica . 2 (3): 200–205. Código bibliográfico : 2012JGeoS ... 2..200S . doi : 10.2478 / v10156-011-0040-9 .
- ^ Karney, CFF (2014). "Grandes elipses" . De la documentación de GeographicLib 1.38.CS1 maint: posdata ( enlace )
enlaces externos
- Implementación en Matlab de las soluciones para los problemas directos e inversos de grandes elipses.