En álgebra, el máximo común divisor (frecuentemente abreviado como MCD) de dos polinomios es un polinomio, del grado más alto posible, que es un factor de ambos polinomios originales. Este concepto es análogo al máximo común divisor de dos números enteros.
En el caso importante de polinomios univariados sobre un campo, el polinomio MCD puede calcularse, como para el entero MCD, mediante el algoritmo euclidiano usando división larga . El polinomio MCD se define solo hasta la multiplicación por una constante invertible.
La similitud entre el entero MCD y el polinomio MCD permite extender a polinomios univariados todas las propiedades que se pueden deducir del algoritmo euclidiano y la división euclidiana . Además, el polinomio GCD tiene propiedades específicas que lo convierten en una noción fundamental en diversas áreas del álgebra. Normalmente, las raíces de la MCD de dos polinomios son las raíces comunes de los dos polinomios, y esto proporciona información sobre las raíces sin calcularlas. Por ejemplo, las raíces múltiples de un polinomio son las raíces del MCD del polinomio y su derivada, y los cálculos adicionales del MCD permiten calcular la factorización sin cuadrados.del polinomio, que proporciona polinomios cuyas raíces son las raíces de una multiplicidad dada del polinomio original.
El máximo común divisor puede definirse y existe, de manera más general, para polinomios multivariados sobre un campo o el anillo de números enteros, y también sobre un dominio de factorización único . Existen algoritmos para calcularlos tan pronto como se tiene un algoritmo GCD en el anillo de coeficientes. Estos algoritmos proceden de una recursividad sobre el número de variables para reducir el problema a una variante del algoritmo euclidiano. Son una herramienta fundamental en álgebra computacional , porque los sistemas de álgebra computacional los usan sistemáticamente para simplificar fracciones. Por el contrario, la mayor parte de la teoría moderna de polinomio GCD se ha desarrollado para satisfacer la necesidad de eficiencia de los sistemas de álgebra por computadora.
Deje que p y q sean polinomios con coeficientes en un dominio de integridad F , típicamente un campo o los números enteros. Un máximo común divisor de p y q es un polinomio d que divide p y q , y de tal manera que cada divisor común de p y q también divide d . Cada par de polinomios (no ambos cero) tiene un MCD si y solo si F es un dominio de factorización único .
Si F es un campo y p y q no sean ambos cero, un polinomio d es un máximo común divisor si y sólo si se divide ambos p y q , y tiene el mayor grado entre los polinomios que tienen esta propiedad. Si p = q = 0 , el MCD es 0. Sin embargo, algunos autores consideran que no está definido en este caso.