En la teoría del calibre , especialmente en las teorías del calibre no abelianas , a menudo se encuentran problemas globales en la fijación del calibre . La fijación de calibre significa elegir un representante de cada órbita de calibre , es decir, elegir una sección de un haz de fibras. El espacio de representantes es un sub-colector (del paquete como un todo) y representa la condición de fijación del calibre. Idealmente, cada órbita de calibre se cruzará con este submúltiplo una vez y solo una vez. Desafortunadamente, esto a menudo es imposible a nivel mundial para las teorías de gauge no abelianas debido a obstrucciones topológicas y lo mejor que se puede hacer es hacer que esta condición sea verdadera a nivel local. Es posible que un sub-colector de fijación de calibre no cruce una órbita de calibre en absoluto o puede que la cruce más de una vez. La dificultad surge porque la condición de fijación del calibre generalmente se especifica como una ecuación diferencial de algún tipo, por ejemplo, que una divergencia se desvanece (como en el calibre de Landau o Lorenz ). Las soluciones a esta ecuación pueden terminar especificando múltiples secciones, o quizás ninguna. Esto se llama ambigüedad de Gribov.(llamado así por Vladimir Gribov ).
Las ambigüedades de Gribov conducen a una falla no perturbadora de la simetría BRST , entre otras cosas.
Una forma de resolver el problema de la ambigüedad de Gribov es restringir las integrales funcionales relevantes a una sola región de Gribov cuyo límite se denomina horizonte de Gribov . Aún así, se puede demostrar que este problema no se resuelve incluso al reducir la región a la primera región de Gribov . La única región para la que se resuelve esta ambigüedad es la región modular fundamental ( RMF ).
Fondo
Al hacer cálculos en teorías de calibre, normalmente es necesario elegir un calibre. Los grados de libertad de los indicadores no tienen ningún significado físico directo, pero son un artefacto de la descripción matemática que usamos para manejar la teoría en cuestión. Para obtener resultados físicos, estos grados de libertad redundantes deben descartarse de manera adecuada.
En la teoría del calibre abeliano (es decir, en QED ), basta con elegir un calibre. Uno popular es el calibre de Lorenz, que tiene la ventaja de ser invariante de Lorentz . En las teorías de gauge no abelianas (como QCD ) la situación es más complicada debido a la estructura más compleja del grupo de gauge no abeliano.
El formalismo de Faddeev-Popov, desarrollado por Ludvig Faddeev y Victor Popov , proporciona una forma de abordar la elección del calibre en las teorías no abelianas. Este formalismo introduce el operador Faddeev-Popov, que es esencialmente el determinante jacobiano de la transformación necesaria para llevar el campo de calibre al calibre deseado. En el llamado calibre Landau [nota 1] , este operador tiene la forma
dónde es la derivada covariante en la representación adjunta. El determinante de este operador de Faddeev-Popov se introduce luego en la integral de ruta utilizando campos fantasma .
Este formalismo, sin embargo, asume que la elección de calibre (como ) es única, es decir, para cada configuración física existe exactamente una que le corresponda y que obedezca a la condición de calibre. Sin embargo, en las teorías de calibres no abelianos del tipo Yang-Mills, este no es el caso para una gran clase de calibres, [1] [2] [3] como lo señaló por primera vez Gribov. [4]
Construcción de Gribov
Gribov consideró la cuestión de, dada una determinada configuración física, cuántas copias de calibre diferentes de esta configuración obedecen a la condición de calibre Landau . No se conocen configuraciones sin representantes. [5] Sin embargo, es perfectamente posible que haya más de uno.
Considere dos campos de calibre y y suponga que ambos obedecen la condición de calibre Landau. Si es una copia de calibre de , tendríamos (asumiendo que están infinitesimalmente cerca uno del otro):
para alguna función . [nota 2] Si ambos campos obedecen a la condición de indicador de Landau, debemos tener ese
y por lo tanto, el operador Faddeev-Popov tiene al menos un modo cero. [5] Si el campo del indicador es infinitesimalmente pequeño, este operador no tendrá modos cero. El conjunto de campos de calibre donde el operador Faddeev-Popov tiene su primer modo cero (al comenzar desde el origen) se denomina "horizonte de Gribov". El conjunto de todos los campos de calibre donde el operador Faddeev-Popov no tiene modos cero (lo que significa que este operador es positivo definido) se denomina "primera región de Gribov".. [6]
Si los campos de indicador tienen copias de indicador, estos campos se contabilizarán en exceso en la integral de ruta. Para contrarrestar ese exceso de conteo, Gribov argumentó que deberíamos limitar la ruta integral a la primera región de Gribov. Para ello, consideró el propagador fantasma, que es el valor esperado de vacío de la inversa del operador Faddeev-Popov. Si este operador siempre es positivo definido, el propagador fantasma no puede tener polos, lo que se denomina "condición sin polos". En la teoría de perturbación habitual (utilizando el formalismo habitual de Faddeev-Popov), el propagador tiene un polo, lo que significa que dejamos la primera región de Gribov y contamos en exceso algunas configuraciones. [7]
Derivando una expresión perturbativa para el propagador fantasma, Gribov encuentra que esta condición de no polo conduce a una condición de la forma [7] [8]
con N el número de colores (que es 3 en QCD), g la fuerza de acoplamiento del indicador, V el volumen de espacio-tiempo (que va al infinito en la mayoría de las aplicaciones), yd el número de dimensiones de espacio-tiempo (que es 4 en el mundo real). El funcionales una abreviatura de la expresión entre corchetes angulares. Para imponer esta condición, Gribov propuso introducir una función de paso Heaviside que contenga lo anterior en la integral de ruta, en su representación de Fourier :
En esta expresión, el parámetro se denomina "parámetro Gribov". La integración sobre este parámetro de Gribov se realiza utilizando el método de descenso más pronunciado . Este método proporciona una ecuación para el parámetro de Gribov, que se denomina ecuación de brecha. Reemplazar la solución de esta ecuación en la integral de trayectoria produce una teoría de gauge modificada.
Con la modificación derivada del parámetro Gribov, resulta que el propagador de gluones se modifica a [7] [9]
dónde es ese valor de que resuelve la ecuación de la brecha. El propagador fantasma también se modifica y, en el orden de un bucle, muestra un comportamiento. [10]
La acción Gribov – Zwanziger
Varios años después, Daniel Zwanziger también consideró el problema de Gribov. Usó un enfoque diferente. En lugar de considerar el propagador fantasma, calculó el valor propio más bajo del operador Faddeev-Popov como una serie perturbativa en el campo de gluones. Esto produjo una determinada función, a la que llamó "función de horizonte", y el valor de expectativa de vacío de esta función de horizonte debe limitarse como máximo a uno para permanecer dentro de la primera región de Gribov. [11] Esta condición se puede expresar introduciendo la función de horizonte en la integral de trayectoria (de una manera análoga a cómo Gribov hizo lo mismo) e imponiendo una cierta ecuación de brecha sobre la energía de vacío de la teoría resultante. [12] Esto produjo una nueva ruta integral con una acción modificada, que, sin embargo, no es local. En orden de avance, los resultados son idénticos a los encontrados anteriormente por Gribov.
Para lidiar más fácilmente con la acción que encontró, Zwanziger introdujo campos de localización. Una vez que la acción se volvió local, fue posible demostrar que la teoría resultante es renormalizable [13] , es decir, todos los infinitos generados por los diagramas de bucle pueden absorberse modificando multiplicativamente el contenido (constante de acoplamiento, normalización de campo, parámetro de Gribov) ya presente en la teoría sin necesidad de adiciones adicionales.
Zwanziger señaló además que el propagador de gluones resultante no admite una representación espectral de Källén-Lehmann , lo que indica que el gluón ya no puede ser una partícula física. [13] Esto a menudo se interpreta como una señal de confinamiento de color .
Propiedades de la primera región de Gribov
Dado que la primera región de Gribov juega un papel fundamental en la resolución de la ambigüedad de Gribov, ha atraído una atención adicional a lo largo de los años desde el primer artículo de Gribov. El calibre Landau se puede definir como el calibre que extremiza el funcional
Un extremo simple (máximo o mínimo) de esta función es el calibre Landau habitual. Exigir un mínimo (lo que equivale a exigir que el operador Faddeev-Popov sea positivo) aterriza uno en la primera región de Gribov. [6]
Sin embargo, esta condición todavía incluye mínimos relativos. Se ha demostrado que todavía hay copias de Gribov dentro de la primera región de Gribov que están relacionadas entre sí por una transformación de calibre topológicamente trivial. [14] El espacio de las funciones de calibre que minimizan absolutamente la funcionalidaddefinido anteriormente se llama la "región modular fundamental". Sin embargo, se desconoce cómo restringir la ruta integral a esta región.
Se ha demostrado que la primera región de Gribov está delimitada en todas las direcciones, [15] de modo que no se tienen en cuenta configuraciones de campo arbitrariamente grandes al restringir la ruta integral a esta región. [16] Además, la primera región de Gribov es convexa y todas las configuraciones físicas tienen al menos un representante en su interior. [17]
Desarrollos posteriores
En 2013 se comprobó que los dos formalismos, el de Gribov y el de Zwanziger, son equivalentes a todos los órdenes en la teoría de la perturbación. [18]
Un desafío para el formalismo Gribov-Zwanziger es que se rompe la simetría BRST . [19] Esta ruptura se puede interpretar como ruptura de simetría dinámica . [20] La ruptura es "suave" (es decir, proporcional a un parámetro con dimensión de masa positiva, en este caso el parámetro de Gribov), de modo que aún se puede demostrar la renormalizabilidad. Sin embargo, la unitaridad sigue siendo problemática.
Durante mucho tiempo, las simulaciones de celosía parecían indicar que los propagadores de gluones y fantasmas modificados propuestos por Gribov y Zwanziger eran correctos. En 2007, sin embargo, las computadoras se habían vuelto lo suficientemente fuertes como para sondear la región de momentos bajos, donde los propagadores están más modificados, y resultó que la imagen de Gribov-Zwanziger no es correcta. En cambio, el propagador de gluones alcanza un valor constante cuando el impulso se lleva a cero, y el propagador fantasma sigue funcionando como 1 / k 2 en momentos bajos. [21] Este es el caso de las dimensiones 3 y 4 del espacio-tiempo. [22] Se ha propuesto una solución a esta discrepancia, agregando condensados a la acción Gribov-Zwanziger. [23]
Notas
- ^ En la teoría del calibre cuántico, el término "calibre de Lorenz" generalmente se refiere a calibres más generales de la forma, donde la función generalmente se promedia.
- ^ La derivada covariante aquí contiene el campo de calibre.
Referencias
- ^ Cantante 1978 .
- ^ Maas 2013 , sección 2.4.
- ^ Vandersickel y Zwanziger 2012 , p. 178.
- ^ Gribov 1978 .
- ↑ a b Gribov 1978 , sección 2.
- ↑ a b Vandersickel y Zwanziger , 2012 , p. 188.
- ↑ a b c Gribov 1978 , sección 6.
- ^ Vandersickel 2011 , sección 3.1.
- ^ Vandersickel y Zwanziger 2012 , p. 197.
- ^ Vandersickel y Zwanziger 2012 , p. 198.
- ^ Zwanziger 1989 , sección 3.
- ^ Zwanziger 1989 , sección 4.
- ↑ a b Zwanziger 1989 , sección 5.
- ^ van Baal 1992 .
- ^ Dell'Antonio y Zwanziger, 1989 .
- ↑ Maas , 2013 , p. 211.
- ^ Vandersickel y Zwanziger 2012 , p. 189.
- ^ Capri y col. 2013 .
- ^ Vandersickel y Zwanziger 2012 , p. 2013.
- ^ Vandersickel y Zwanziger 2012 , p. 225.
- ^ Cucchieri y Mendes 2007 .
- ^ Vandersickel y Zwanziger 2012 , p. 179.
- ^ Vandersickel y Zwanziger 2012 , 4.2.
Fuentes
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