En física teórica , el formalismo BRST o cuantificación BRST (donde BRST se refiere a Becchi , Rouet , Stora y Tyutin ) denota un enfoque matemático relativamente riguroso para cuantificar una teoría de campo con una simetría de calibre . Las reglas de cuantificación en los marcos anteriores de la teoría cuántica de campos (QFT) se parecían más a "prescripciones" o "heurísticas" que a pruebas, especialmente en QFT no abelianos , donde el uso de " campos fantasma"con propiedades superficialmente extrañas es casi inevitable por razones técnicas relacionadas con la renormalización y cancelación de anomalías .
La supersimetría global BRST introducida a mediados de la década de 1970 se entendió rápidamente para racionalizar la introducción de estos fantasmas Faddeev-Popov y su exclusión de los estados asintóticos "físicos" al realizar cálculos QFT. Fundamentalmente, esta simetría de la integral de trayectoria se conserva en el orden de los bucles y, por lo tanto, evita la introducción de contraterminos que podrían estropear la renormalización de las teorías de gauge. El trabajo de otros autores unos años más tarde relacionó al operador BRST con la existencia de una alternativa rigurosa a las integrales de trayectoria al cuantificar una teoría de gauge.
Sólo a finales de la década de 1980, cuando QFT se reformuló en lenguaje de haces de fibras para su aplicación a problemas en la topología de variedades de baja dimensión ( teoría de campos cuánticos topológicos ), se hizo evidente que la "transformación" BRST es fundamentalmente de carácter geométrico. En este sentido, la "cuantificación BRST" se convierte en algo más que una forma alternativa de llegar a fantasmas que cancelan anomalías. Es una perspectiva diferente sobre lo que representan los campos fantasma, por qué funciona el método de Faddeev-Popov y cómo se relaciona con el uso de la mecánica hamiltoniana para construir un marco perturbativo. La relación entre la invariancia de gauge y la "invariancia de BRST" obliga a elegir un sistema hamiltoniano cuyos estados se componen de "partículas" de acuerdo con las reglas familiares del formalismo de cuantificación canónica . Esta condición de consistencia esotérica, por lo tanto, se acerca bastante a explicar cómo surgen los cuantos y los fermiones en la física para empezar.
En ciertos casos, en particular la gravedad y la supergravedad , el BRST debe ser reemplazado por un formalismo más general, el formalismo Batalin-Vilkovisky .
Resumen técnico
La cuantificación BRST es un enfoque geométrico diferencial para realizar cálculos de perturbaciones consistentes y libres de anomalías en una teoría de gauge no abeliana . La forma analítica de la "transformación" BRST y su relevancia para la renormalización y la cancelación de anomalías fueron descritas por Carlo Maria Becchi , Alain Rouet y Raymond Stora en una serie de artículos que culminaron en la "Renormalización de las teorías gauge" de 1976. La transformación equivalente y muchas de sus propiedades fueron descubiertas de forma independiente por Igor Viktorovich Tyutin . Taichiro Kugo e Izumi Ojima aclararon su importancia para la cuantificación canónica rigurosa de una teoría de Yang-Mills y su correcta aplicación al espacio de Fock de configuraciones de campo instantáneas. El trabajo posterior por muchos autores, notablemente Thomas Schucker y Edward Witten , ha aclarado el significado geométrico del operador BRST y campos relacionados e hizo hincapié en su importancia para la teoría cuántica de campos topológica y la teoría de cuerdas .
En el enfoque BRST, se selecciona un procedimiento de fijación de calibre amigable con las perturbaciones para el principio de acción de una teoría de calibre utilizando la geometría diferencial del haz de calibres en el que vive la teoría de campo. Luego se cuantifica la teoría para obtener un sistema hamiltoniano en la imagen de interacción de tal manera que los campos "no físicos" introducidos por el procedimiento de fijación del indicador resuelvan las anomalías del indicador sin aparecer en los estados asintóticos de la teoría. El resultado es un conjunto de reglas de Feynman para usar en una expansión perturbativa en serie de Dyson de la matriz S que garantiza que sea unitaria y renormalizable en cada orden de bucle; en resumen, una técnica de aproximación coherente para realizar predicciones físicas sobre los resultados de la dispersión. experimentos .
BRST clásico
Esto está relacionado con una variedad supersimpléctica en la que los operadores puros se clasifican mediante números fantasmas integrales y tenemos una cohomología BRST .
Transformaciones de calibre en QFT
Desde una perspectiva práctica, una teoría cuántica de campos consta de un principio de acción y un conjunto de procedimientos para realizar cálculos perturbativos . Hay otros tipos de "controles de cordura" que se pueden realizar en una teoría cuántica de campos para determinar si se ajusta a fenómenos cualitativos como el confinamiento de los quarks y la libertad asintótica . Sin embargo, la mayoría de los éxitos predictivos de la teoría cuántica de campos, desde la electrodinámica cuántica hasta la actualidad, se han cuantificado comparando los cálculos de la matriz S con los resultados de los experimentos de dispersión .
En los primeros días de QFT, habría que haber dicho que las prescripciones de cuantificación y renormalización formaban parte del modelo tanto como la densidad lagrangiana , especialmente cuando se basaban en el formalismo integral de trayectorias poderoso pero matemáticamente mal definido . Rápidamente se hizo evidente que QED era casi "mágico" en su relativa manejabilidad, y que la mayoría de las formas en que uno podría imaginar su extensión no producirían cálculos racionales. Sin embargo, una clase de teorías de campo seguía siendo prometedora: las teorías de gauge , en las que los objetos de la teoría representan clases de equivalencia de configuraciones de campo físicamente indistinguibles, dos de las cuales están relacionadas por una transformación de gauge . Esto generaliza la idea QED de un cambio de fase local a un grupo de Lie más complicado .
La QED en sí misma es una teoría de gauge, al igual que la relatividad general , aunque esta última ha demostrado ser resistente a la cuantificación hasta ahora, por razones relacionadas con la renormalización. Otra clase de teorías de gauge con un grupo de gauge no abeliano , comenzando con la teoría de Yang-Mills , se volvió susceptible de cuantificación a fines de la década de 1960 y principios de la de 1970, en gran parte debido al trabajo de Ludwig D. Faddeev , Victor Popov , Bryce DeWitt y Gerardus 't Hooft . Sin embargo, siguió siendo muy difícil trabajar con ellos hasta la introducción del método BRST. El método BRST proporcionó las técnicas de cálculo y las pruebas de renormalizabilidad necesarias para extraer resultados precisos tanto de las teorías "ininterrumpidas" de Yang-Mills como de aquellas en las que el mecanismo de Higgs conduce a una ruptura espontánea de la simetría . Representantes de estos dos tipos de sistemas Yang-Mills —cromodinámica cuántica y teoría electrodébil— aparecen en el Modelo estándar de física de partículas .
Ha resultado bastante más difícil probar la existencia de una teoría cuántica de campos no abeliana en un sentido riguroso que obtener predicciones precisas utilizando esquemas de cálculo semi-heurísticos. Esto se debe a que analizar una teoría cuántica de campos requiere dos perspectivas entrelazadas matemáticamente: un sistema lagrangiano basado en la acción funcional , compuesto por campos con valores distintos en cada punto del espacio-tiempo y operadores locales que actúan sobre ellos, y un sistema hamiltoniano en la imagen de Dirac. , compuesto por estados que caracterizan a todo el sistema en un momento dado y operadores de campo que actúan sobre ellos. Lo que hace que esto sea tan difícil en una teoría de gauge es que los objetos de la teoría no son realmente campos locales en el espacio-tiempo; son campos locales invariantes a la derecha en el haz de calibres principal , y diferentes secciones locales a través de una porción del haz de calibres, relacionadas por transformaciones pasivas , producen diferentes imágenes de Dirac.
Es más, una descripción del sistema en su conjunto en términos de un conjunto de campos contiene muchos grados de libertad redundantes; las distintas configuraciones de la teoría son clases de equivalencia de configuraciones de campo, de modo que dos descripciones que están relacionadas entre sí por una transformación de calibre también son realmente la misma configuración física. Las "soluciones" de una teoría de gauge cuantificada no existen en un espacio simple de campos con valores en cada punto del espacio-tiempo, sino en un espacio cociente (o cohomología ) cuyos elementos son clases de equivalencia de configuraciones de campo. En el formalismo BRST se esconde un sistema para parametrizar las variaciones asociadas con todas las posibles transformaciones de gauge activas y tener en cuenta correctamente su irrelevancia física durante la conversión de un sistema lagrangiano en un sistema hamiltoniano.
Teoría de la fijación y la perturbación del calibre
El principio de invariancia de gauge es esencial para construir una teoría cuántica de campo viable. Pero generalmente no es factible realizar un cálculo perturbativo en una teoría de gauge sin primero "fijar el gauge", agregando términos a la densidad lagrangiana del principio de acción que "rompen la simetría del gauge" para suprimir estos grados de libertad "no físicos". La idea de la fijación de calibre se remonta al enfoque de calibre de Lorenz para el electromagnetismo, que suprime la mayoría de los grados de libertad en exceso en los cuatro potenciales mientras conserva la invariancia de Lorenz manifiesta . El medidor de Lorenz es una gran simplificación en relación con el enfoque de intensidad de campo de Maxwell para la electrodinámica clásica , e ilustra por qué es útil tratar con grados de libertad excesivos en la representación de los objetos en una teoría en la etapa lagrangiana, antes de pasar a la hamiltoniana. mecánica a través de la transformación de Legendre .
La densidad hamiltoniana está relacionada con la derivada de Lie de la densidad lagrangiana con respecto a un campo vectorial horizontal unitario en forma de tiempo en el haz de indicadores. En un contexto de mecánica cuántica, convencionalmente se reescala por un factor. Integrarlo por partes sobre una sección transversal espacial recupera la forma del integrando familiar de la cuantificación canónica . Debido a que la definición del hamiltoniano implica un campo vectorial de tiempo unitario en el espacio base, una elevación horizontal al espacio del paquete y una superficie similar a un espacio "normal" (en la métrica de Minkowski ) al campo vectorial de tiempo unitario en cada punto de la base. múltiple, depende tanto de la conexión como de la elección del marco de Lorentz , y está lejos de estar definido globalmente. Pero es un ingrediente esencial en el marco perturbativo de la teoría cuántica de campos, en el que entra el hamiltoniano cuantificado a través de la serie de Dyson .
Con fines perturbativos, reunimos la configuración de todos los campos de nuestra teoría en una sección transversal horizontal tridimensional completa similar a un espacio de P en un objeto (un estado de Fock ), y luego describimos la "evolución" de este estado a lo largo del tiempo utilizando el método imagen de interacción . El espacio de Fock está atravesado por los estados propios de múltiples partículas de la parte "no perturbada" o "sin interacción"del hamiltoniano . Por tanto, la descripción instantánea de cualquier estado de Fock es una suma compleja ponderada en amplitud de estados propios de. En la imagen de interacción, relacionamos estados de Fock en diferentes momentos prescribiendo que cada estado propio del hamiltoniano no perturbado experimenta una tasa constante de rotación de fase proporcional a su energía (el valor propio correspondiente del hamiltoniano no perturbado).
Por lo tanto, en la aproximación de orden cero, el conjunto de pesos que caracterizan un estado de Fock no cambia con el tiempo, pero la configuración del campo correspondiente sí lo hace. En aproximaciones más altas, los pesos también cambian; Los experimentos de colisionadores en física de altas energías equivalen a mediciones de la tasa de cambio en estos pesos (o más bien integrales de ellos sobre distribuciones que representan la incertidumbre en las condiciones iniciales y finales de un evento de dispersión). La serie Dyson captura el efecto de la discrepancia entre y el verdadero hamiltoniano , en forma de una serie de potencias en la constante de acoplamiento g ; es la principal herramienta para realizar predicciones cuantitativas a partir de una teoría cuántica de campos.
Para usar la serie de Dyson para calcular cualquier cosa, se necesita más que una densidad lagrangiana invariante en cuanto al indicador; también se necesitan las prescripciones de cuantificación y fijación de calibres que entran en las reglas de Feynman de la teoría. La serie Dyson produce infinitas integrales de varios tipos cuando se aplica al hamiltoniano de una QFT en particular. Esto se debe en parte a que todas las teorías de campo cuánticas utilizables hasta la fecha deben considerarse teorías de campo efectivas , que describen solo interacciones en un cierto rango de escalas de energía que podemos sondear experimentalmente y, por lo tanto, vulnerables a las divergencias ultravioleta . Estos son tolerables siempre que puedan manejarse mediante técnicas estándar de renormalización ; no son tan tolerables cuando resultan en una serie infinita de renormalizaciones infinitas o, peor aún, en una predicción obviamente no física como una anomalía de gauge no cancelada . Existe una profunda relación entre la renormalizabilidad y la invariancia de calibre, que se pierde fácilmente en el curso de los intentos de obtener reglas de Feynman manejables mediante la fijación del calibre.
Enfoques anteriores a BRST para la fijación de calibres
Las prescripciones tradicionales de fijación de calibre de la electrodinámica continua seleccionan un representante único de cada clase de equivalencia relacionada con la transformación de calibre utilizando una ecuación de restricción como el calibre de Lorenz . Este tipo de prescripción se puede aplicar a una teoría de gauge abeliana como QED , aunque resulta en cierta dificultad para explicar por qué las identidades de Ward de la teoría clásica se trasladan a la teoría cuántica; en otras palabras, por qué los diagramas de Feynman que contienen diagramas internos polarizados longitudinalmente los fotones virtuales no contribuyen a los cálculos de la matriz S. Este enfoque tampoco se generaliza bien a los grupos gauge no abelianos como el SU (2) de Yang-Mills y la teoría electrodébil y el SU (3) de la cromodinámica cuántica . Sufre de las ambigüedades de Gribov y de la dificultad de definir una restricción de fijación de calibre que sea en cierto sentido "ortogonal" a los cambios físicamente significativos en la configuración del campo.
Los enfoques más sofisticados no intentan aplicar una restricción de función delta a los grados de libertad de la transformación de calibre. En lugar de "fijar" el medidor a una "superficie de restricción" particular en el espacio de configuración, se puede romper la libertad del medidor con un término adicional, no invariante de calibre, agregado a la densidad lagrangiana. Para reproducir los éxitos de la fijación del calibre, este término se elige como mínimo para la elección del calibre que corresponde a la restricción deseada y para que dependa cuadráticamente de la desviación del calibre de la superficie de restricción. Mediante la aproximación de la fase estacionaria en la que se basa la integral de trayectoria de Feynman , la contribución dominante a los cálculos perturbativos vendrá de las configuraciones de campo en la vecindad de la superficie de restricción.
La expansión perturbativa asociada con este lagrangiano, usando el método de cuantificación funcional , generalmente se conoce como el indicador R ξ . Se reduce en el caso de un indicador abeliano U (1) al mismo conjunto de reglas de Feynman que se obtiene en el método de cuantificación canónica . Pero hay una diferencia importante: la libertad de calibre rota aparece en la integral funcional como un factor adicional en la normalización general. Este factor sólo puede extraerse de la expansión perturbativa (e ignorarse) cuando la contribución al Lagrangiano de una perturbación a lo largo de los grados de libertad del indicador es independiente de la configuración del campo "físico" particular. Esta es la condición que no se cumple para los grupos de gauge no abelianos. Si uno ignora el problema e intenta utilizar las reglas de Feynman obtenidas de la cuantificación funcional "ingenua", se encuentra que sus cálculos contienen anomalías inamovibles.
El problema de los cálculos perturbativos en QCD se resolvió mediante la introducción de campos adicionales conocidos como fantasmas de Faddeev-Popov , cuya contribución al Lagrangiano de calibre fijo compensa la anomalía introducida por el acoplamiento de perturbaciones "físicas" y "no físicas" del calibre no abeliano. campo. Desde la perspectiva de la cuantificación funcional, las perturbaciones "no físicas" de la configuración del campo (las transformaciones de calibre) forman un subespacio del espacio de todas las perturbaciones (infinitesimales); en el caso no abeliano, la incrustación de este subespacio en el espacio mayor depende de la configuración alrededor de la cual tiene lugar la perturbación. El término fantasma en lagrangiano representa el determinante funcional del jacobiano de esta incrustación, y las propiedades del campo fantasma son dictadas por el exponente deseado en el determinante para corregir la medida funcional en los restantes ejes de perturbación "física".
Enfoque matemático de BRST
BRST construcción se aplica a una situación de una acción hamiltoniano de un diseño compacto, conectado grupo de Lie G en un espacio de fase M . [1] [2] Dejeser el álgebra de Lie de G yun valor regular del mapa de momentos . Dejar. Suponga que la acción G en M 0 es libre y adecuada, y considere el espaciode G -orbitas en M 0 , que también se conoce como cociente de reducción simpléctica.
Primero, usando la secuencia regular de funciones que definen M 0 dentro de M , construya un complejo de Koszul
El diferencial, δ, en este complejo es una derivación lineal C ∞ ( M ) impar del álgebra C ∞ ( M ) graduada. Esta extraña derivación se define extendiendo el álgebra de Lie homomorphimde la acción hamiltoniana . El complejo de Koszul resultante es el complejo de Koszul del-módulo C ∞ ( M ), donde es el álgebra simétrica de , y la estructura del módulo proviene de un homomorfismo de anillo inducida por la acción hamiltoniana .
Este complejo de Koszul es una resolución de la-módulo , es decir,
Luego, considere el complejo de cocadenas de Chevalley-Eilenberg para el complejo de Koszul considerado como un módulo dg sobre el álgebra de Lie :
El diferencial "horizontal" se define en los coeficientes
por la acción de y en como la derivada exterior de formas diferenciales invariantes a la derecha en el grupo de Lie G , cuya álgebra de Lie es.
Sea Tot ( K ) un complejo tal que
con un diferencial D = d + δ. Los grupos de cohomología de (Tot ( K ), D ) se calculan utilizando una secuencia espectral asociada al complejo doble.
El primer término de la secuencia espectral calcula la cohomología del diferencial "vertical" δ:
- , si j = 0 y cero en caso contrario.
El primer término de la secuencia espectral puede interpretarse como el complejo de formas diferenciales verticales
para el haz de fibras .
El segundo término de la secuencia espectral calcula la cohomología del diferencial "horizontal" d en:
- , Si y cero en caso contrario.
La secuencia espectral colapsa en el segundo término, de modo que , que se concentra en grado cero.
Por lo tanto,
- , si p = 0 y 0 en caso contrario.
El operador BRST y el espacio asintótico de Fock
Se deben hacer dos comentarios importantes sobre el operador BRST. Primero, en lugar de trabajar con el grupo de calibres G, solo se puede usar la acción del álgebra de calibre en los campos (funciones en el espacio de fase).
En segundo lugar, la variación de cualquier " forma exacta BRST " s B X con respecto a una transformación de calibre local d λ es
que es en sí misma una forma exacta.
Más importante aún para el formalismo perturbativo hamiltoniano (que no se lleva a cabo en el haz de fibras sino en una sección local), agregar un término exacto BRST a una densidad lagrangiana invariante de calibre conserva la relación s B X = 0. Como veremos, esto implica que hay un operador relacionado Q B en el espacio de estados para el cual—Es decir, el operador BRST en los estados de Fock es una carga conservada del sistema hamiltoniano . Esto implica que el operador de evolución temporal en un cálculo de la serie Dyson no desarrollará una configuración de campo que obedezca en una configuración posterior con (o viceversa).
Otra forma de ver la nilpotencia del operador BRST es decir que su imagen (el espacio de las formas exactas de BRST ) se encuentra completamente dentro de su núcleo (el espacio de las formas cerradas de BRST ). (El lagrangiano "verdadero", que se supone invariante bajo las transformaciones de gauge locales, está en el núcleo del operador BRST pero no en su imagen). El argumento anterior dice que podemos limitar nuestro universo de condiciones iniciales y finales a estados "asintóticos" "—Configuraciones de campo en el infinito temporal, donde la interacción lagrangiana está" apagada ", que se encuentran en el núcleo de Q B y aún obtienen una matriz de dispersión unitaria. (Los estados cerrados y exactos de BRST se definen de manera similar a los campos cerrados y exactos de BRST; los estados cerrados son aniquilados por Q B , mientras que los estados exactos son aquellos que se pueden obtener aplicando Q B a alguna configuración de campo arbitraria).
También podemos suprimir los estados que se encuentran dentro de la imagen de Q B al definir los estados asintóticos de nuestra teoría, pero el razonamiento es un poco más sutil. Dado que hemos postulado que el lagrangiano "verdadero" de nuestra teoría es invariante de calibre, los "estados" verdaderos de nuestro sistema hamiltoniano son clases de equivalencia bajo transformación de calibre local; en otras palabras, dos estados iniciales o finales en la imagen hamiltoniana que difieren solo por un estado exacto de BRST son físicamente equivalentes. Sin embargo, el uso de una prescripción de ruptura del calibre exacto BRST no garantiza que la interacción hamiltoniana conserve ningún subespacio particular de configuraciones de campo cerrado que podamos llamar "ortogonales" al espacio de configuraciones exactas. (Este es un punto crucial, a menudo mal tratado en los libros de texto de QFT. No hay un producto interno a priori en las configuraciones de campo incorporado en el principio de acción; construimos ese producto interno como parte de nuestro aparato perturbativo hamiltoniano).
Por lo tanto, nos enfocamos en el espacio vectorial de configuraciones cerradas BRST en un momento particular con la intención de convertirlo en un espacio de Fock de estados intermedios adecuado para la perturbación hamiltoniana. Con este fin, lo dotaremos de operadores en escalera para las autoconfiguraciones de energía-momento (partículas) de cada campo, con reglas apropiadas (anti) de conmutación, así como un producto interno semidefinido positivo . Requerimos que el producto interno sea singular exclusivamente a lo largo de direcciones que correspondan a los estados propios exactos de BRST del hamiltoniano imperturbable. Esto asegura que uno pueda elegir libremente, desde dentro de las dos clases de equivalencia de configuraciones de campo asintóticas correspondientes a estados propios iniciales y finales particulares del hamiltoniano de campo libre (ininterrumpido), cualquier par de estados de Fock cerrados BRST que queramos.
Las prescripciones de cuantificación deseadas también proporcionarán un cociente del espacio de Fock isomórfico a la cohomología BRST , en el que cada clase de equivalencia cerrada BRST de estados intermedios (que difieren solo por un estado exacto) está representada por exactamente un estado que no contiene cuantos de los campos exactos de BRST. . Este es el espacio de Fock que queremos para los estados asintóticos de la teoría; Aunque en general no lograremos elegir la configuración de campo final particular a la que la dinámica lagrangiana de calibre fijo habría evolucionado esa configuración inicial, la singularidad del producto interno a lo largo de los grados exactos de libertad de BRST asegura que obtendremos las entradas correctas para la matriz de dispersión física.
(En realidad, probablemente deberíamos estar construyendo un espacio de Kerin para los estados de Fock intermedios cerrados por BRST, con el operador de inversión de tiempo desempeñando el papel de la "simetría fundamental" que relaciona los productos internos semidefinidos positivos e invariantes de Lorentz. El estado asintótico el espacio es presumiblemente el espacio de Hilbert obtenido cociente de los estados exactos de BRST fuera de este espacio de Kerin).
En resumen, ningún campo introducido como parte de un procedimiento de fijación de calibre BRST aparecerá en estados asintóticos de la teoría de calibre fijo. Sin embargo, esto no implica que podamos prescindir de estos campos "no físicos" en los estados intermedios de un cálculo perturbativo. Esto se debe a que los cálculos perturbativos se realizan en la imagen de interacción . Implican implícitamente estados inicial y final de la no interacción hamiltoniana., transformándose gradualmente en estados del hamiltoniano completo de acuerdo con el teorema adiabático "activando" la interacción hamiltoniana (el acoplamiento de gauge). La expansión de la serie de Dyson en términos de diagramas de Feynman incluirá vértices que acoplan partículas "físicas" (aquellas que pueden aparecer en estados asintóticos del hamiltoniano libre) con partículas "no físicas" (estados de campos que viven fuera del núcleo de s B o dentro de la imagen de s B ) y vértices que acoplan partículas "no físicas" entre sí.
La respuesta de Kugo-Ojima a las preguntas sobre la unitaridad
A T. Kugo e I. Ojima se les atribuye comúnmente el descubrimiento del principal criterio de confinamiento de color QCD . Su papel en la obtención de una versión correcta del formalismo BRST en el marco de Lagrange parece ser menos apreciado. Es esclarecedor inspeccionar su variante de la transformación BRST, que enfatiza las propiedades hermitianas de los campos recién introducidos, antes de proceder desde un ángulo completamente geométrico. El indicador de densidad lagrangiana fija está por debajo; los dos términos en paréntesis forman el acoplamiento entre los sectores de calibre y de fantasmas, y el término final se convierte en una ponderación gaussiana para la medida funcional en el campo auxiliar B .
El campo fantasma de Faddeev-Popov c es único entre los nuevos campos de nuestra teoría de calibre fijo por tener un significado geométrico más allá de los requisitos formales del procedimiento BRST. Es una versión del formulario Maurer-Cartan en, que relaciona cada campo vectorial vertical invariante a la derecha a su representación (hasta una fase) como un -campo valorado. Este campo debe ingresar en las fórmulas para transformaciones de calibre infinitesimales en objetos (como fermiones ψ, bosones de calibre A μ y el propio fantasma c ) que llevan una representación no trivial del grupo de calibre. Por tanto, la transformación BRST con respecto a δλ es:
Aquí hemos omitido los detalles del sector de materia ψ y dejamos la forma del operador Ward sin especificar; estos no son importantes siempre que la representación del álgebra de gauge en los campos de materia sea consistente con su acoplamiento a δ A μ . Las propiedades de los otros campos que hemos agregado son fundamentalmente analíticas más que geométricas. El sesgo que hemos introducido hacia las conexiones condepende del calibre y no tiene un significado geométrico particular. El anti-fantasmano es más que un multiplicador de Lagrange para el término de fijación de calibre, y las propiedades del campo escalar B están totalmente dictadas por la relación. (Los nuevos campos son todos hermitianos en las convenciones de Kugo-Ojima, pero el parámetro δλ es un "número c anti-desplazamiento " antihermitiano . Esto da como resultado una incomodidad innecesaria con respecto a las fases y el paso de parámetros infinitesimales a través de operadores. resolverse con un cambio de convenciones en el tratamiento geométrico a continuación.)
Ya sabemos, por la relación del operador BRST con la derivada exterior y el fantasma Faddeev-Popov con la forma Maurer-Cartan, que el fantasma c corresponde (hasta una fase) a un-valuado en 1 forma en . Para la integración de un término como para ser significativo, el anti-fantasma debe llevar representaciones de estas dos álgebras de Lie: el ideal vertical y el álgebra de calibre —Duales a los que lleva el fantasma. En términos geométricos, debe ser dual a nivel de fibra para y un rango por debajo de ser un formulario superior en. Asimismo, el campo auxiliar B debe tener la misma representación de (hasta una fase) como , así como la representación de dual a su representación trivial en A μ , es decir, B es una fibra-forma superior doble en .
Centrémonos brevemente en los estados de una partícula de la teoría, en el límite adiabáticamente desacoplado g → 0. Hay dos tipos de cuantos en el espacio de Fock del hamiltoniano de calibre fijo que esperamos que se encuentren completamente fuera del núcleo del Operador BRST: los del anti-fantasma Faddeev-Popovy el bosón gauge polarizado hacia adelante. Esto se debe a que no hay combinación de campos que contenganes aniquilado por s B y hemos agregado al Lagrangiano un término de ruptura de calibre que es igual a una divergencia de
Asimismo, hay dos tipos de cuantos que se encontrarán íntegramente en la imagen del operador BRST: los del fantasma de Faddeev-Popov cy el campo escalar B , que se "come" al completar el cuadrado de la integral funcional para convertirse en el bosón de calibre polarizado hacia atrás. Estos son los cuatro tipos de cuantos "no físicos" que no aparecerán en los estados asintóticos de un cálculo perturbativo, si acertamos en nuestras reglas de cuantificación.
El anti-fantasma se toma como un escalar de Lorentz en aras de la invariancia de Poincaré en. Sin embargo, su ley de (anti) conmutación relativa a c , es decir, su prescripción de cuantificación, que ignora el teorema de la estadística de espín al dar estadísticas de Fermi-Dirac a una partícula de espín-0, vendrá dada por el requisito de que el producto interno en nuestro espacio de Fock de estados asintóticos debe ser singular a lo largo de las direcciones correspondientes a los operadores de subida y bajada de alguna combinación de campos no cerrados BRST y exactos BRST. Esta última afirmación es la clave para la "cuantificación BRST", en contraposición a la mera "simetría BRST" o "transformación BRST".
- (Debe completarse en el lenguaje de la cohomología BRST, con referencia al tratamiento Kugo-Ojima del espacio asintótico de Fock).
Paquetes de calibre y el ideal vertical
Para hacer justicia al método BRST, debemos cambiar de la imagen de "campos con valores de álgebra en el espacio de Minkowski" típica de los textos de teoría cuántica de campos (y de la exposición anterior) al lenguaje de los haces de fibras , en el que hay dos bastante diferentes formas de ver una transformación de calibre: como un cambio de sección local (también conocido en relatividad general como una transformación pasiva ) o como el retroceso de la configuración de campo a lo largo de un difeomorfismo vertical del haz principal . Es el último tipo de transformación de calibre el que entra en el método BRST. A diferencia de una transformación pasiva, está bien definida globalmente en un paquete principal con cualquier grupo de estructura sobre una variedad arbitraria. (Sin embargo, por razones de concreción y relevancia para QFT convencional, este artículo se ceñirá al caso de un haz de calibre principal con fibra compacta sobre un espacio de Minkowski de 4 dimensiones).
Un haz de calibres principal P sobre un M de 4 colectores es localmente isomorfo a U × F , donde U ⊂ R 4 y la fibra F es isomorfo a un grupo de Lie G , el grupo de calibre de la teoría de campo (este es un isomorfismo de colector estructuras, no de estructuras grupales, no existe una superficie especial en P correspondiente a 1 en G , por lo que es más apropiado decir que la fibra F es una G - torsor ). Por lo tanto, el paquete de calibre principal (físico) está relacionado con el paquete G principal (matemático) pero tiene más estructura. Su propiedad más básica como haz de fibras es la "proyección al espacio base" π: P → M , que define las direcciones "verticales" en P (las que se encuentran dentro de la fibra π −1 ( p ) sobre cada punto p en M ). Como haz de calibre tiene una acción izquierda de G sobre P que respeta la estructura de la fibra, y como haz principal también tiene una acción derecha de G sobre P que también respeta la estructura de la fibra y conmuta con la acción izquierda.
La acción izquierda del grupo de estructura G sobre P corresponde a un mero cambio de sistema de coordenadas en una fibra individual. La acción derecha (global) R g : P → P para una g fija en G corresponde a un automorfismo real de cada fibra y, por lo tanto, a un mapa de P a sí misma. Para que P califique como un paquete G principal , la acción derecha global de cada g en G debe ser un automorfismo con respecto a la estructura múltiple de P con una dependencia suave de g , es decir, un difeomorfismo P × G → P .
La existencia de la acción correcta mundial de las selecciones de grupo estructura a cabo una clase especial de derecha invariantes objetos geométricos en P -esos que no cambian cuando están de vuelta sacaron a lo largo de R g para todos los valores de g en G . Los objetos invariantes a la derecha más importantes en un paquete principal son los campos vectoriales invariantes a la derecha , que forman un ideal del álgebra de Lie de difeomorfismos infinitesimales de P . Esos campos vectoriales en P que son invariantes a la derecha y verticales forman un ideal de , que tiene una relación con todo el paquete P análoga a la del álgebra de Lie de la galga grupo G para el individuo G -torsor fibra F .
La "teoría de campo" de interés se define en términos de un conjunto de "campos" (suavizar mapas en diversos espacios vectoriales) definidos en un medidor fibrado principal P . Los diferentes campos llevan representaciones diferentes del grupo de gauge G , y quizás de otros grupos de simetría de la variedad, como el grupo de Poincaré . Se puede definir el espacio Pl de polinomios locales en estos campos y sus derivadas. Se presume que la densidad lagrangiana fundamental de la teoría de uno se encuentra en el subespacio P 0 de polinomios que son de valor real e invariantes bajo cualquier grupo de simetría sin calibre ininterrumpido. También se presume que es invariante no solo bajo la acción izquierda (transformaciones de coordenadas pasivas) y la acción derecha global del grupo de calibre, sino también bajo las transformaciones de calibre locales : retroceso a lo largo del difeomorfismo infinitesimal asociado con una elección arbitraria del campo vectorial vertical invariante derecho..
La identificación de transformaciones de gauge locales con un subespacio particular de campos vectoriales en la variedad P nos equipa con un mejor marco para tratar con infinitesimales de dimensión infinita: geometría diferencial y cálculo exterior . El cambio en un campo escalar bajo retroceso a lo largo de un automorfismo infinitesimal se captura en la derivada de Lie , y la noción de retener solo el término lineal en la escala del campo vectorial se implementa separándolo en la derivada interna y la derivada exterior . (En este contexto, las "formas" y el cálculo exterior se refieren exclusivamente a los grados de libertad que son duales a los campos vectoriales en el haz de calibre , no a los grados de libertad expresados en índices de tensor (griego) en la variedad base o matriz (romana) índices en el álgebra de calibre.)
La derivada de Lie en una variedad es una operación globalmente bien definida de una manera que la derivada parcial no lo es. La generalización adecuada del teorema de Clairaut a la estructura múltiple no trivial de P viene dada por el corchete de Lie de los campos vectoriales y la nilpotencia de la derivada exterior . Y obtenemos una herramienta esencial para el cálculo: el teorema de Stokes generalizado , que nos permite integrar por partes y eliminar el término de superficie siempre que el integrando disminuya lo suficientemente rápido en direcciones donde hay un límite abierto. (Esta no es una suposición trivial, pero puede resolverse mediante técnicas de renormalización , como la regularización dimensional , siempre que el término de la superficie pueda hacerse invariable en cuanto a calibre).
Formalismo BRST
En física teórica , el formalismo BRST es un método para implementar restricciones de primera clase . Las letras BRST significan Becchi , Rouet, Stora y (independientemente) Tyutin, quienes descubrieron este formalismo. Es un método sofisticado para tratar las teorías de la física cuántica con invariancia de gauge . Por ejemplo, los métodos BRST se aplican a menudo a la teoría de gauge y la relatividad general cuantificada .
Versión cuántica
El espacio de estados no es un espacio de Hilbert (ver más abajo). Este espacio vectorial es tanto Z 2 -graded y R -graded . Si lo desea, puede pensar en él como un espacio vectorial graduado Z 2 × R - . La primera calificación es la paridad, que puede ser par o impar. La última clasificación es el número fantasma . Tenga en cuenta que es R y no Z porque, a diferencia del caso clásico, podemos tener números fantasma no integrales. Los operadores que actúan en este espacio también se clasifican con Z 2 × R - de la manera obvia. En particular, Q es impar y tiene un número fantasma de 1.
Sea H n el subespacio de todos los estados con número fantasma n . Entonces, Q restringido a H n mapea H n a H n +1 . Dado que Q 2 = 0, tenemos un complejo cocadena que describe una cohomología .
Los estados físicos se identifican como elementos de cohomología del operador Q , es decir, como vectores en Ker ( Q n +1 ) / Im ( Q n ). De hecho, la teoría BRST está vinculada a la resolución estándar en la cohomología del álgebra de Lie .
Recuerde que el espacio de estados tiene una calificación Z 2 . Si A es un operador graduado puro, entonces la transformación BRST mapea A a [ Q , A ) donde [,) es el superconmutador . Los operadores BRST invariantes son operadores para los cuales [ Q , A ) = 0. Dado que los operadores también se clasifican por números fantasma, esta transformación BRST también forma una cohomología para los operadores ya que [ Q , [ Q , A )) = 0.
Aunque el formalismo BRST es más general que la fijación de ancho de vía de Faddeev-Popov , en el caso especial en el que se deriva de él, el operador BRST también es útil para obtener el jacobiano correcto asociado con las restricciones que calibran-fijan la simetría.
El operador BRST es una supersimetría . Genera la superálgebra Lie con una parte incluso de dimensión cero y una parte de una dimensión extraña atravesado por Q . [ Q , Q ) = { Q , Q } = 0 donde [,) es el super soporte de Lie (es decir, Q 2 = 0). Esto significa que Q actúa como antiderivación .
Debido a que Q es hermitiano y su cuadrado es cero, pero Q en sí mismo es distinto de cero, esto significa que el espacio vectorial de todos los estados antes de la reducción cohomológica tiene una norma indefinida . Esto significa que no es un espacio de Hilbert .
Para flujos más generales que no pueden describirse mediante restricciones de primera clase, consulte Formalismo de Batalin-Vilkovisky .
Ejemplo
Para el caso especial de teorías gauge (del tipo usual descrito por secciones de un director G-haz ) con un quantum forma de conexión A, una carga BRST (a veces también una carga BRS) es un operador generalmente denotado Q .
Deja el -las condiciones de fijación del calibre valoradas seandonde ξ es un número positivo que determina el calibre. Hay muchas otras fijaciones de calibre posibles, pero no se tratarán aquí. Los campos son losforma de conexión valorada A ,-campo escalar valorado con estadísticas fermiónicas, byc y a -campo escalar valorado con estadísticas bosónicas B. c se ocupa de las transformaciones de calibre, mientras que by B se ocupan de las fijaciones de calibre. En realidad, hay algunas sutilezas asociadas con la fijación del indicador debido a las ambigüedades de Gribov, pero no se tratarán aquí.
donde D es la derivada covariante .
donde [,] L es el corchete de Lie .
Q es una antiderivación .
La densidad BRST Lagrangiana
Si bien la densidad lagrangiana no es invariante BRST, su integral sobre todo el espacio-tiempo, la acción, sí lo es.
El operador Q se define como
dónde son los fantasmas y antighosts de Faddeev-Popov (campos con un número fantasma negativo ), respectivamente, L i son los generadores infinitesimales del grupo Lie , y son sus constantes de estructura.
Ver también
- Formalismo de Batalin-Vilkovisky
- Cromodinámica cuántica
Referencias
Citas
- ^ Figueroa-O'Farrill y Kimura 1991 , págs. 209-229
- ^ Kostant y Sternberg 1987 , págs. 49-113
Tratamientos de libros de texto
- Capítulo 16 de Peskin & Schroeder ( ISBN 0-201-50397-2 o ISBN 0-201-50934-2 ) aplica la "simetría BRST" para razonar sobre la cancelación de anomalías en el Lagrangiano Faddeev-Popov. Este es un buen comienzo para los no expertos en QFT, aunque se omiten las conexiones con la geometría y el tratamiento del espacio asintótico de Fock es solo un boceto.
- Capítulo 12 de M. Göckeler y T. Schücker ( ISBN 0-521-37821-4 o ISBN 0-521-32960-4 ) analiza la relación entre el formalismo BRST y la geometría de los haces de calibre. Es sustancialmente similar al artículo de Schücker de 1987 .
Tratamiento matemático
- Figueroa-O'Farrill, JM; Kimura, T. (1991). "Cuantización geométrica de BRST I. Precuantización" . Comun. Matemáticas. Phys . Springer-Verlag . 136 (2): 209-229. Código Bibliográfico : 1991CMaPh.136..209F . doi : 10.1007 / BF02100022 . ISSN 0010-3616 . Señor 1096113 . S2CID 120119621 .
- Kostant, B .; Sternberg, S. (1987). "Reducción simpléctica, cohomología BRS y álgebras de Clifford de dimensión infinita". Ana. Phys . Elsevier . 176 (1): 49-113. Código Bibliográfico : 1987AnPhy.176 ... 49K . doi : 10.1016 / 0003-4916 (87) 90178-3 .
Literatura primaria
Papeles BRST originales:
- Brandt, Friedemann; Barnich, Glenn; Henneaux, Marc (2000), "Cohomología local BRST en teorías de gauge", Physics Reports. A Review Section of Physics Letters , 338 (5): 439–569, arXiv : hep-th / 0002245 , Bibcode : 2000PhR ... 338..439B , doi : 10.1016 / S0370-1573 (00) 00049-1 , ISSN 0370-1573 , MR 1792979 , S2CID 119420167
- Becchi, C .; Rouet, A .; Stora, R. (1974). "El modelo abeliano Higgs Kibble, unitaridad del S-operador". Physics Letters B . Elsevier BV. 52 (3): 344–346. doi : 10.1016 / 0370-2693 (74) 90058-6 . ISSN 0370-2693 .
- Becchi, C .; Rouet, A .; Stora, R. (1975). "Renormalización del modelo abeliano de Higgs-Kibble" . Comunicaciones en Física Matemática . Springer Science and Business Media LLC. 42 (2): 127-162. doi : 10.1007 / bf01614158 . ISSN 0010-3616 . S2CID 120552882 .
- Becchi, C; Rouet, A; Stora, R. (1976). "Renormalización de teorías de gauge" . Annals of Physics . Elsevier BV. 98 (2): 287–321. doi : 10.1016 / 0003-4916 (76) 90156-1 . ISSN 0003-4916 .
- IV Tyutin, "Gauge Invariance in Field Theory and Statistical Physics in Operator Formalism" , Lebedev Physics Institute preprint 39 (1975), arXiv: 0812.0580.
- Kugo, Taichiro; Ojima, Izumi (1979). "Formalismo de operador covariante local de teorías de calibre no abeliano y problema de confinamiento de Quark" . Progreso del Suplemento de Física Teórica . Prensa de la Universidad de Oxford (OUP). 66 : 1–130. doi : 10.1143 / ptps.66.1 . ISSN 0375-9687 .
- Una versión más accesible de Kugo – Ojima está disponible en línea en una serie de artículos, comenzando con: Kugo, T .; Ojima, I. (1 de diciembre de 1978). "Formulación canónica manifiestamente covariante de las teorías de campo de Yang-Mills. I: - Formalismo general -" . Progreso de la Física Teórica . Prensa de la Universidad de Oxford (OUP). 60 (6): 1869–1889. doi : 10.1143 / ptp.60.1869 . ISSN 0033-068X . Esta es probablemente la mejor referencia para la cuantificación BRST en el lenguaje mecánico cuántico (en oposición al geométrico).
- Se puede encontrar mucha información sobre la relación entre los invariantes topológicos y el operador BRST en: E. Witten, "Topological Quantum Field Theory" , Commun. Matemáticas. Phys. 117, 3 (1988), págs. 353–386
Perspectivas alternativas
- Los sistemas BRST se analizan brevemente desde la perspectiva de la teoría del operador en: SS Horuzhy y AV Voronin, "Observaciones sobre la estructura matemática de las teorías BRST" , Comm. Matemáticas. Phys. 123, 4 (1989) págs. 677–685
- Se puede encontrar una perspectiva de la teoría de la medida sobre el método BRST en las notas de la conferencia de 1996 de Carlo Becchi .
enlaces externos
- Brst cohomology en arxiv.org