La derivada covariante de gauge es una variación de la derivada covariante utilizada en la relatividad general . Si una teoría tiene transformaciones de calibre , significa que algunas propiedades físicas de ciertas ecuaciones se conservan bajo esas transformaciones. Asimismo, la derivada covariante de calibre es la derivada ordinaria modificada de tal manera que se comporte como un verdadero operador vectorial, de modo que las ecuaciones escritas utilizando la derivada covariante conserven sus propiedades físicas bajo transformaciones de calibre.
Descripción general
Hay muchas formas de entender la derivada covariante de gauge. El enfoque adoptado en este artículo se basa en la notación históricamente tradicional utilizada en muchos libros de texto de física. [1] [2] [3] Otro enfoque es entender la derivada covariante de gauge como una especie de conexión , y más específicamente, una conexión afín . [4] [5] [6] La conexión afín es interesante porque no requiere ningún concepto de tensor métrico para ser definido; la curvatura de una conexión afín puede entenderse como la intensidad de campo del potencial de calibre. Cuando una métrica está disponible, se puede ir en una dirección diferente y definir una conexión en un paquete de marcos . Este camino conduce directamente a la relatividad general; sin embargo, requiere una métrica, que las teorías de calibre de la física de partículas no tienen.
En lugar de ser generalizaciones entre sí, la geometría afín y métrica van en diferentes direcciones: el grupo de calibre de la geometría ( pseudo- ) riemanniana debe ser el grupo ortogonal indefinido O (s, r) en general, o el grupo de Lorentz O ( 3,1) para el espacio-tiempo . Esto se debe a que las fibras del haz de marcos deben necesariamente, por definición, conectar los espacios tangente y cotangente del espacio-tiempo. [7] En contraste, los grupos de calibre empleados en física de partículas podrían ser en principio cualquier grupo de Lie , aunque en la práctica el Modelo Estándar solo usa U (1) , SU (2) y SU (3) . Tenga en cuenta que los grupos de Lie no vienen equipados con una métrica.
Un enfoque aún más complicado, aún más preciso y geométricamente esclarecedor, es entender que la derivada covariante de calibre es (exactamente) lo mismo que la derivada covariante exterior en una sección de un haz asociado para el haz de fibras principal de la teoría de calibre; [8] y, para el caso de espinores, el paquete asociado sería un paquete de espín de la estructura de espín . [9] Aunque conceptualmente es el mismo, este enfoque utiliza un conjunto de notación muy diferente y requiere una base mucho más avanzada en múltiples áreas de geometría diferencial .
El paso final en la geometrización de la invariancia de calibre es reconocer que, en la teoría cuántica, solo es necesario comparar las fibras vecinas del haz de fibras principal, y que las fibras mismas proporcionan una descripción adicional superflua. Esto lleva a la idea de modificar el grupo de calibre para obtener el grupo de calibre como la descripción más cercana de la conexión de calibre en la teoría cuántica de campos. [6] [10]
Para las álgebras de Lie ordinarias, la derivada covariante de gauge de las simetrías espaciales (las de la variedad pseudo-Riemanniana y la relatividad general) no puede entrelazarse con las simetrías de gauge internas; es decir, la geometría métrica y la geometría afín son materias matemáticas necesariamente distintas: este es el contenido del teorema de Coleman-Mandula . Sin embargo, una premisa de este teorema es violada por las superalgebras de Lie (¡que no son álgebras de Lie!), Lo que ofrece la esperanza de que una sola simetría unificada pueda describir simetrías espaciales e internas: esta es la base de la supersimetría .
El enfoque más matemático utiliza una notación sin índice, enfatizando la estructura geométrica y algebraica de la teoría de gauge y su relación con las álgebras de Lie y las variedades de Riemann ; por ejemplo, tratar la covarianza de calibre como equivariancia en las fibras de un haz de fibras. La notación de índice utilizada en física la hace mucho más conveniente para los cálculos prácticos, aunque hace que la estructura geométrica general de la teoría sea más opaca. [7] El enfoque de la física también tiene una ventaja pedagógica: la estructura general de una teoría de gauge se puede exponer después de una formación mínima en cálculo multivariante , mientras que el enfoque geométrico requiere una gran inversión de tiempo en la teoría general de la geometría diferencial , variedades de Riemann. , Álgebras de Lie , representaciones de álgebras de Lie y conjuntos de principios antes de que se pueda desarrollar una comprensión general. En discusiones más avanzadas, ambas notaciones se mezclan comúnmente.
Este artículo intenta ceñirse más a la notación y al lenguaje comúnmente empleados en el currículo de física, tocando sólo brevemente las conexiones más abstractas.
Dinámica de fluidos
En dinámica de fluidos , la derivada covariante de calibre de un fluido puede definirse como
dónde es un campo vectorial de velocidad de un fluido.
Teoría del calibre
En la teoría de gauge , que estudia una clase particular de campos que son de importancia en la teoría cuántica de campos , la derivada covariante de gauge mínimamente acoplada se define como
dónde es el cuatro potencial electromagnético .
(Esto es válido para una firma métrica de Minkowski (-, +, +, +) , que es común en la relatividad general y se usa a continuación. Para la convención de física de partículas (+, -, -, -) , es. La carga del electrón se define negativa como, mientras que el campo de Dirac se define para transformarse positivamente como )
Construcción de la derivada covariante a través del requisito de covarianza de calibre
Considere una transformación de calibre genérica (posiblemente no abeliana), definida por un operador de simetría , actuando en un campo , tal que
dónde es un elemento del álgebra de Lie asociado con el grupo de transformaciones de simetría de Lie , y se puede expresar en términos de los generadores del grupo,, como .
La derivada parcial se transforma, en consecuencia, como
y un término cinético de la forma por tanto, no es invariante bajo esta transformación.
Podemos introducir la derivada covariante en este contexto como una generalización de la derivada parcial que se transforma covariantemente bajo la transformación de calibre, es decir, un objeto que satisface
que en forma operativa toma la forma
Así calculamos (omitiendo el explícito dependencias por brevedad)
- ,
dónde
- .
El requisito de transformar covariantemente ahora se traduce en la condición
Para obtener una expresión explícita, seguimos QED y hacemos el Ansatz
donde el campo vectorial satisface,
de lo que se sigue que
y
que, usando , toma la forma
Por tanto, hemos encontrado un objeto tal que
Electrodinámica cuántica
Si una transformación de calibre viene dada por
y por el potencial de calibre
luego se transforma como
- ,
y se transforma como
y se transforma como
así que eso
y en el QED lagrangiano es, por lo tanto, invariante de calibre, y la derivada covariante de calibre se denomina así acertadamente.
Por otro lado, la derivada no covariante no preservaría la simetría de gauge del Lagrangiano, ya que
- .
Cromodinámica cuántica
En cromodinámica cuántica , la derivada covariante de gauge es [11]
dónde es la constante de acoplamiento de la interacción fuerte,es el campo de calibre de gluones , para ocho gluones diferentes, y donde es una de las ocho matrices de Gell-Mann . Las matrices de Gell-Mann dan una representación del grupo de simetría de color SU (3) . Para los quarks, la representación es la representación fundamental , para los gluones, la representación es la representación adjunta .
Modelo estandar
La derivada covariante en el modelo estándar combina las interacciones electromagnética, débil y fuerte. Puede expresarse de la siguiente forma: [12]
Los campos de calibre aquí pertenecen a las representaciones fundamentales del grupo de Lie electrodébil multiplicado por la simetría de color del grupo de Lie SU (3) . La constante de acoplamiento proporciona el acoplamiento de la hipercarga hacia bosón y el acoplamiento a través de los tres bosones vectoriales al isospin débil, cuyos componentes se escriben aquí como las matrices de Pauli . A través del mecanismo de Higgs , estos campos de bosones se combinan en el campo electromagnético sin masa. y los campos de los tres bosones vectoriales masivos y .
Relatividad general
En relatividad general , la derivada covariante de gauge se define como
dónde es el símbolo de Christoffel . Más formalmente, esta derivada puede entenderse como la conexión de Riemann en un paquete de tramas . La "libertad de calibre" aquí es la elección arbitraria de un marco de coordenadas en cada punto en el espacio-tiempo .
Ver también
- Impulso cinético
- Conexión (matemáticas)
- Acoplamiento mínimo
- Cálculo de Ricci
Referencias
- ^ LD Faddeev, AA Slavnov, Campos de calibre: Introducción a la teoría de calibre , (1980) Benjamin Cummings, ISBN 0-8053-9016-2
- ^ Claude Itzykson, Jean-Bernard Zuber, Teoría del campo cuántico (1980) McGraw-Hill ISBN 0-07-032071-3
- ^ Warren Siegel, Campos (1999) ArXiv
- ^ Richard S. Palais, La geometrización de la física (1981) Lecture Notes, Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Tsing Hua
- ^ ME Mayer, " Revisión: David D. Bleecker, teoría del calibre y principios variacionales ", Bull. Amer. Matemáticas. Soc. (NS) 9 (1983), núm. 1, 83--92
- ↑ a b Alexandre Guay, Aspectos geométricos de la simetría de calibre local (2004)
- ^ a b Charles W. Misner, Kip S. Thorne y John Archibald Wheeler, Gravitación , (1973) WH Freeman and Company
- ^ David Bleecker, " Teoría del calibre y principios de variación " (1982) D. Reidel Publishing (consulte el capítulo 3 )
- ^ David Bleecker, op. cit. ( Vea el Capítulo 6. )
- ^ Meinhard E. Mayer, "Paquetes principales frente a grupos de mentiras en la teoría del calibre", (1990) en Métodos geométricos diferenciales en física teórica , volumen 245 págs. 793-802
- ^ http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html
- ^ Ver, por ejemplo, eq. 3.116 en C. Tully, Física de partículas elementales en pocas palabras , 2011, Princeton University Press.
- Tsutomu Kambe, principio de calibre para fluidos ideales y principio de variación . (Archivo PDF.)