Convergencia Gromov-Hausdorff
En matemáticas , la convergencia de Gromov-Hausdorff , llamada así por Mikhail Gromov y Felix Hausdorff , es una noción de convergencia de espacios métricos que es una generalización de la convergencia de Hausdorff .
La distancia de Gromov-Hausdorff fue introducida por David Edwards en 1975, [1] [2] y luego fue redescubierta y generalizada por Mikhail Gromov en 1981. [3] [4] Esta distancia mide qué tan lejos están dos espacios métricos compactos de ser isométrico . Si X e Y son dos espacios métricos compactos, entonces d GH ( X , Y ) se define como el mínimo de todos los números d H ( f ( X ), g ( Y )) para todos los espacios métricosM y todas las inmersiones isométricas f : X → M y g : Y → M . Aquí d H denota la distancia de Hausdorff entre subconjuntos en M y la incrustación isométrica se entiende en el sentido global, es decir, debe preservar todas las distancias, no solo las infinitesimalmente pequeñas; por ejemplo, ninguna variedad compacta de Riemann admite tal incrustación en el espacio euclidiano de la misma dimensión.
La distancia de Gromov-Hausdorff convierte el conjunto de todas las clases de isometría de espacios métricos compactos en un espacio métrico, llamado espacio de Gromov-Hausdorff, y por lo tanto define una noción de convergencia para secuencias de espacios métricos compactos, llamada convergencia de Gromov-Hausdorff. Un espacio métrico al que converge dicha secuencia se denomina límite de la secuencia de Gromov-Hausdorff.
El espacio de Gromov-Hausdorff está conectado por caminos , es completo y separable . [5] También es geodésico , es decir, dos de sus puntos son los extremos de una geodésica minimizadora . [6] En el sentido global, el espacio de Gromov-Hausdorff es totalmente heterogéneo, es decir, su grupo de isometría es trivial, [7] pero localmente hay muchas isometrías no triviales. [8]
La convergencia puntiaguda de Gromov-Hausdorff es un análogo de la convergencia de Gromov-Hausdorff apropiada para espacios no compactos. Un espacio métrico puntas es un par ( X , p ) que consiste en una métrica espacio X y el punto p en X . Una secuencia ( X n , p n ) de espacios métricos puntiagudos converge a un espacio métrico puntiagudo ( Y , p ) si, para cada R > 0, la secuencia de bolas R cerradas alrededor de p n en X n converge a la R cerrada -ball alrededor de p enY en el sentido habitual de Gromov-Hausdorff. [9]
Gromov utilizó la noción de convergencia de Gromov-Hausdorff para demostrar que cualquier grupo discreto con crecimiento polinomial es virtualmente nilpotente (es decir, contiene un subgrupo nilpotente de índice finito ). Véase el teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial . (Ver también D. Edwards para un trabajo anterior.) El ingrediente clave en la demostración fue la observación de que para el gráfico de Cayley de un grupo con crecimiento polinomial, una secuencia de recalculaciones converge en el sentido puntiagudo de Gromov-Hausdorff.
