En matemáticas, un espacio métrico hiperbólico es un espacio métrico que satisface ciertas relaciones métricas (que dependen cuantitativamente de un número real no negativo δ) entre puntos. La definición, introducida por Mikhael Gromov , generaliza las propiedades métricas de la geometría hiperbólica clásica y de los árboles . La hiperbolicidad es una propiedad a gran escala y es muy útil para el estudio de ciertos grupos infinitos llamados grupos hiperbólicos de Gromov .
En este párrafo damos varias definiciones de un espacio hiperbólico. Se dice que un espacio métrico es (Gromov-) hiperbólico si es -hiperbólico para algunos .
Sea un espacio métrico . El producto de Gromov de dos puntos con respecto a un tercero se define mediante la fórmula:
La definición de Gromov de un espacio métrico hiperbólico es entonces la siguiente: es -hiperbólico si y solo si todos satisfacen la condición de cuatro puntos
Tenga en cuenta que si esta condición se satisface para todos y un punto base fijo , entonces se satisface para todos con una constante . [1] Por lo tanto, la condición de hiperbolicidad solo necesita verificarse para un punto base fijo; por esta razón, el subíndice del punto base a menudo se elimina del producto de Gromov.
Hasta cambiar por un múltiplo constante, existe una definición geométrica equivalente que involucra triángulos cuando el espacio métrico es geodésico , es decir, dos puntos cualesquiera son puntos finales de un segmento geodésico (una imagen isométrica de un subintervalo compacto de los reales). [2] [3] [4] Tenga en cuenta que la definición a través de los productos de Gromov no requiere que el espacio sea geodésico.