La construcción de Grothendieck (llamada así por Alexander Grothendieck ) es una construcción utilizada en el campo matemático de la teoría de categorías .
Definición
Dejar ser un functor de cualquier categoría pequeña a la categoría de categorías pequeñas . La construcción de Grothendieck para es la categoria (también escrito , o ), con
- objetos siendo pares , dónde y ; y
- morfismos en siendo parejas tal que en , y en .
La composición de los morfismos se define por .
Eslogan
"La construcción de Grothendieck toma datos estructurados y tabulados y los aplana colocándolos todos en un gran espacio. Luego, el funtor de proyección tiene la tarea de recordar de qué caja proviene originalmente cada dato". [1]
Ejemplo
Si es un grupo , entonces se puede ver como una categoría ,con un objeto y todos los morfismos invertibles. Dejar ser un funtor cuyo valor en el único objeto de es la categoria una categoría que representa al grupo del mismo modo. El requisito de queser un funtor es equivalente a especificar un homomorfismo de grupo dónde denota el grupo de automorfismos de Finalmente, la construcción de Grothendieck, da como resultado una categoría con un objeto, que nuevamente se puede ver como un grupo, y en este caso, el grupo resultante es (isomorfo a) el producto semidirecto
Ver también
Referencias
- Mac Lane y Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic , págs.44.
- RW Thomason (1979). Colimitos de homotopía en la categoría de categorías pequeñas. Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge, 85, págs. 91-109. doi: 10.1017 / S0305004100055535.
- Específico