En la teoría de categorías , si C es una categoría yes un funtor de valores establecidos , la categoría de elementos de F(también denotado por ∫ C F) es la categoría definida de la siguiente manera:
- Los objetos son pares dónde y .
- Una flecha es una flecha en C tal que .
Una forma más concisa de afirmar esto es que la categoría de elementos de F es la categoría de coma , dónde es un conjunto de un punto. La categoría de elementos de F viene con una proyección natural que envía un objeto (A, a) a A, y una flecha a su flecha subyacente en C.
La categoría de elementos de una gavilla
En algunos textos (por ejemplo, Mac Lane, Moerdijk), la categoría de elementos se utiliza para pre-ondas. Lo declaramos explícitamente para completar. Sies una gavilla , la categoría de elementos de P (nuevamente denotada por, o, para aclarar la distinción con la definición anterior, ∫ C P = ∫ C op P) es la categoría definida de la siguiente manera:
- Los objetos son pares dónde y .
- Una flecha es una flecha en C tal que .
Como se ve, la dirección de las flechas se invierte. Una vez más, se puede enunciar esta definición de una manera más concisa: la categoría que se acaba de definir no es más que. En consecuencia, con el ánimo de añadir una "co" delante del nombre de una construcción para denotar su opuesto, se debería llamar a esta categoría la categoría de coelementos de P.
Para C pequeño , esta construcción se puede extender a un funtor ∫ C de a , la categoría de categorías pequeñas . De hecho, usando el lema de Yoneda se puede demostrar que ∫ C P, dónde es la incrustación de Yoneda. Este isomorfismo es natural en P y, por tanto, el functor ∫ C es naturalmente isomorfo a.
La categoría de elementos de un álgebra operada
Dado un (coloreado) operad y un funtor, también llamado álgebra, , se obtiene un nuevo operado, llamado categoría de elementos y denotado, generalizando la historia anterior para categorías. Tiene la siguiente descripción:
- Los objetos son pares dónde y .
- Una flecha es una flecha en tal que
Ver también
Referencias
- Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas 5 (2ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.
- Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). Gavillas en Geometría y Lógica . Universitext (edición corregida). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4.