En matemáticas , el teorema de Grunsky , debido al matemático alemán Helmut Grunsky , es el resultado de un análisis complejo sobre funciones univalentes holomórficas definidas en el disco unitario en los números complejos . El teorema establece que una función univalente definida en el disco unitario, fijando el punto 0, mapea cada disco | z | < r en un dominio similar a una estrella para r ≤ tanh π / 4. La r más grande para la que esto es cierto se llama radio de semejanza a las estrellas de la función.
Declaración
Sea f una función holomórfica univalente en el disco unitario D tal que f (0) = 0. Entonces, para todo r ≤ tanh π / 4, la imagen del disco | z | < r es similar a una estrella con respecto a 0, es decir, es invariante bajo la multiplicación por números reales en (0,1).
Una desigualdad de Grunsky
Si f (z) es univalente en D con f (0) = 0, entonces
Tomando las partes real e imaginaria del logaritmo, esto implica las dos desigualdades
y
Para z fijo , estas dos igualdades se logran mediante funciones de Koebe adecuadas
donde | w | = 1.
Prueba
Grunsky (1932) probó originalmente estas desigualdades basándose en las técnicas extremas de Ludwig Bieberbach . Las pruebas posteriores, esbozadas en Goluzin (1939) , se basaron en la ecuación de Loewner . Posteriormente se dieron pruebas más elementales basadas en las desigualdades de Goluzin , una forma equivalente de las desigualdades de Grunsky (1939) para la matriz de Grunsky .
Para una función univalente g en z > 1 con una expansión
Las desigualdades de Goluzin afirman que
donde z i son puntos distintos con | z i | > 1 y λ i son números complejos arbitrarios.
Tomando n = 2. con λ 1 = - λ 2 = λ, la desigualdad implica
Si g es una función impar y η = - ζ, esto produce
Finalmente, si f es cualquier función univalente normalizada en D , la desigualdad requerida para f sigue tomando
con
Prueba del teorema
Sea f una función univalente en D con f (0) = 0. Según el criterio de Nevanlinna , f es como una estrella en | z | < r si y solo si
para | z | < r . Equivalentemente
Por otro lado, por la desigualdad de Grunsky arriba,
Así que si
la desigualdad se mantiene en z . Esta condición es equivalente a
y por tanto f es similar a una estrella en cualquier disco | z | < r con r ≤ tanh π / 4.
Referencias
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- Goluzin, GM (1969), Teoría geométrica de funciones de una variable compleja , Traducciones de monografías matemáticas, 26 , American Mathematical Society
- Goodman, AW (1983), funciones univalentes , I , Mariner Publishing Co., ISBN 0-936166-10-X
- Goodman, AW (1983), funciones univalentes , II , Mariner Publishing Co., ISBN 0-936166-11-8
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- Pommerenke, C. (1975), Funciones univalentes, con un capítulo sobre diferenciales cuadráticas de Gerd Jensen , Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15 , Vandenhoeck & Ruprecht