En matemáticas , la ecuación diferencial de Loewner , o ecuación de Loewner , es una ecuación diferencial ordinaria descubierta por Charles Loewner en 1923 en el análisis complejo y la teoría de funciones geométricas . Introducido originalmente para estudiar los mapeos de rendijas (mapeos conformes del disco abierto en el plano complejo con una curva que une 0 a ∞ eliminada), el método de Loewner fue desarrollado más tarde en 1943 por el matemático ruso Pavel Parfenevich Kufarev (1909-1968). Cualquier familia de dominios en el plano complejo que se expande continuamente en el sentido de Carathéodory.al plano completo conduce a una familia de un parámetro de mapeos conformes, denominada cadena de Loewner , así como a una familia de dos parámetros de automapeos univalentes holomórficos del disco unitario , denominada semigrupo de Loewner . Este semigrupo corresponde a un campo vectorial holomórfico dependiente del tiempo en el disco dado por una familia de un parámetro de funciones holomórficas en el disco con parte real positiva. El semigrupo de Loewner generaliza la noción de semigrupo univalente .
La ecuación diferencial de Loewner ha dado lugar a desigualdades para funciones univalentes que jugaron un papel importante en la solución de la conjetura de Bieberbach de Louis de Branges en 1985. El propio Loewner utilizó sus técnicas en 1923 para probar la conjetura del tercer coeficiente. La ecuación de Schramm-Loewner , una generalización estocástica de la ecuación diferencial de Loewner descubierta por Oded Schramm a finales de la década de 1990, se ha desarrollado ampliamente en la teoría de la probabilidad y la teoría de campos conforme .
Funciones univalentes subordinadas
Vamos f y g sea holomórficas funciones univalentes en el disco unidad D , | z | <1, con f (0) = 0 = g (0).
Se dice que f está subordinada a g si y solo si hay un mapeo univalente φ de D en sí mismo fijando 0 tal que
para | z | <1.
Una condición necesaria y suficiente para la existencia de tal mapeo φ es que
La necesidad es inmediata.
Por el contrario, φ debe estar definido por
Por definición, φ es un automapeo holomórfico univalente de D con φ (0) = 0.
Dado que tal mapa satisface 0 <| φ '(0) | ≤ 1 y toma cada disco D r , | z |
y
Cadena Loewner
Para 0 ≤ t ≤ ∞ sea U ( t ) una familia de subconjuntos abiertos conectados y simplemente conectados de C que contienen 0, tal que
si s < t ,
y
Así que si ,
en el sentido del teorema del núcleo de Carathéodory .
Si D denota el disco unitario en C , este teorema implica que los mapas univalentes únicos f t ( z )
dado por el teorema de mapeo de Riemann son uniformemente continuos en subconjuntos compactos de.
Además, la función es positivo, continuo, estrictamente creciente y continuo.
Mediante una reparametrización se puede suponer que
Por eso
Las asignaciones univalentes f t ( z ) se denominan cadena de Loewner .
El teorema de la distorsión de Koebe muestra que el conocimiento de la cadena es equivalente a las propiedades de los conjuntos abiertos U ( t ).
Semigrupo de Loewner
Si f t ( z ) es una cadena de Loewner, entonces
para s < t de modo que haya un automapeo univalente único del disco φ s, t ( z ) fijando 0 tal que
Por unicidad, las asignaciones φ s, t tienen la siguiente propiedad de semigrupo:
para s ≤ t ≤ r .
Constituyen un semigrupo de Loewner .
Los auto-asignaciones dependen continuamente en s y t y satisfacer
Ecuación diferencial de Loewner
La ecuación diferencial de Loewner se puede derivar para el semigrupo de Loewner o de manera equivalente para la cadena de Loewner.
Para el semigrupo, dejemos
luego
con
para | z | <1.
Entonces w (t) = φ s, t ( z ) satisface la ecuación diferencial ordinaria
con condición inicial w ( s ) = z .
Para obtener la ecuación diferencial satisfecha por la cadena de Loewner f t ( z ) observe que
de modo que f t ( z ) satisface la ecuación diferencial
con condición inicial
El teorema de Picard-Lindelöf para ecuaciones diferenciales ordinarias garantiza que estas ecuaciones se pueden resolver y que las soluciones son holomorfas en z .
La cadena Loewner se puede recuperar del semigrupo Loewner pasando al límite:
Finalmente, dado cualquier automapeo univalente ψ ( z ) de D , fijando 0, es posible construir un semigrupo de Loewner φ s, t ( z ) tal que
De manera similar, dada una función univalente g en D con g (0) = 0, tal que g ( D ) contiene el disco unitario cerrado, existe una cadena de Loewner f t ( z ) tal que
Resultados de este tipo son inmediata si ψ o g se extienden continuamente a ∂ D . Siguen en general reemplazando las asignaciones f ( z ) por aproximaciones f ( rz ) / r y luego usando un argumento de compacidad estándar. [1]
Mapeos de hendiduras
Las funciones holomorfas p ( z ) en D con parte real positiva y normalizadas de modo que p (0) = 1 se describen mediante el teorema de representación de Herglotz :
donde μ es una medida de probabilidad en el círculo. Tomar una medida puntual destaca funciones
con | κ ( t ) | = 1, que fueron los primeros en ser considerados por Loewner (1923) .
Las desigualdades para funciones univalentes en el disco unitario se pueden demostrar utilizando la densidad para una convergencia uniforme en subconjuntos compactos de mapeos de rendijas . Estos son mapas conformes del disco unitario en el plano complejo con un arco de Jordan que conecta un punto finito con ∞ omitido. La densidad sigue aplicando el teorema del núcleo de Carathéodory . De hecho, cualquier función univalente f ( z ) se aproxima mediante funciones
que llevan el círculo unitario a una curva analítica. Un punto de esa curva se puede conectar al infinito mediante un arco de Jordan. Las regiones obtenidas al omitir un pequeño segmento de la curva analítica a un lado del punto elegido convergen en g ( D ) de modo que los correspondientes mapas univalentes de D en estas regiones convergen en g uniformemente en conjuntos compactos. [2]
Para aplicar la ecuación diferencial de Loewner a una función de rendija f , el arco de Jordan omitido c ( t ) desde un punto finito hasta ∞ se puede parametrizar mediante [0, ∞) de modo que el mapa univalente f t de D sobre C menos c ( [ t , ∞)) tiene la forma
con b n continuo. En particular
Para s ≤ t , sea
con una n continua.
Esto da una cadena de Loewner y un semigrupo de Loewner con
donde κ es un mapa continuo desde [0, ∞) al círculo unitario. [3]
Para determinar κ, observe que φ s, t mapea el disco unitario en el disco unitario con un arco de Jordan desde un punto interior hasta el límite eliminado. El punto donde toca el límite es independiente de sy define una función continua λ ( t ) desde [0, ∞) al círculo unitario. κ ( t ) es el complejo conjugado (o inverso) de λ ( t ):
De manera equivalente, según el teorema de Carathéodory f t admite una extensión continua al disco unitario cerrado y λ ( t ), a veces llamada función de conducción , se especifica mediante
No todas las funciones continuas κ provienen de un mapeo de rendijas, pero Kufarev demostró que esto era cierto cuando κ tiene una derivada continua.
Aplicación a la conjetura de Bieberbach
Loewner (1923) usó su ecuación diferencial para mapeos de rendijas para probar la conjetura de Bieberbach
para el tercer coeficiente de una función univalente
En este caso, girando si es necesario, se puede suponer que un 3 no es negativo.
Luego
con una n continua. Satisfacen
Si
la ecuación diferencial de Loewner implica
y
Entonces
que implica inmediatamente la desigualdad de Bieberbach
similar
Dado que a 3 no es negativo y | κ ( t ) | = 1,
utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz .
Notas
- ^ Pommerenke 1975 , págs. 158-159
- ^ Duren 1983 , págs. 80–81
- ^ Duren 1983 , págs. 83–87
Referencias
- Duren, PL (1983), Funciones univalentes , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259 , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5
- Kufarev, PP (1943), "Sobre familias de un parámetro de funciones analíticas", Mat. Sbornik , 13 : 87-118
- Lawler, GF (2005), Procesos invariantes conforme en el plano , Encuestas y monografías matemáticas, 114 , Sociedad matemática estadounidense, ISBN 0-8218-3677-3
- Loewner, C. (1923), "Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises, I", Math. Ana. , 89 : 103–121, doi : 10.1007 / BF01448091 , hdl : 10338.dmlcz / 125927
- Pommerenke, C. (1975), Funciones univalentes, con un capítulo sobre diferenciales cuadráticas de Gerd Jensen , Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15 , Vandenhoeck & Ruprecht