En matemáticas , el criterio de Nevanlinna en el análisis complejo , probado en 1920 por el matemático finlandés Rolf Nevanlinna , caracteriza funciones univalentes holomórficas en el disco unitario que son similares a estrellas . Nevanlinna usó este criterio para probar la conjetura de Bieberbach para funciones univalentes en forma de estrella.
Declaración de criterio
Una función univalente h en el disco unitario que satisface h (0) = 0 y h ' (0) = 1 es similar a una estrella, es decir, tiene una imagen invariante bajo la multiplicación por números reales en [0,1], si y solo sitiene una parte real positiva para | z | <1 y toma el valor 1 en 0.
Tenga en cuenta que, al aplicar el resultado a a • h ( rz ), el criterio se aplica a cualquier disco | z |
Prueba de criterio
Sea h ( z ) una función univalente en forma de estrella en | z | <1 con h (0) = 0 y h ' (0) = 1.
Para t <0, defina [1]
un semigrupo de mapeo holomórficoa de D en sí mismo fijando 0.
Además, h es la función de Koenigs para el semigrupo f t .
Por el lema de Schwarz , | f t ( z ) | disminuye a medida que t aumenta.
Por eso
Pero, estableciendo w = f t ( z ),
dónde
Por eso
y así, dividiendo por | w | 2 ,
Tomando recíprocos y dejando que t vaya a 0 da
para todos | z | <1. Dado que el lado izquierdo es una función armónica , el principio máximo implica que la desigualdad es estricta.
Por el contrario, si
tiene una parte real positiva y g (0) = 1, entonces h solo puede desaparecer en 0, donde debe tener un cero simple.
Ahora
Así, como z traza el círculo, el argumento de la imagen aumenta estrictamente. Por el principio de argumento , dado quetiene un cero simple en 0, rodea el origen solo una vez. El interior de la región delimitada por la curva que traza es, por tanto, en forma de estrella. Si a es un punto en el interior, entonces el número de soluciones N ( a ) de h (z) = a con | z | < r está dado por
Dado que este es un número entero, depende de forma continua en una y N (0) = 1, es idéntica 1. Así h es univalente y de estrella en cada disco | z | < ry, por tanto, en todas partes.
Aplicación a la conjetura de Bieberbach
Lema de Carathéodory
Constantin Carathéodory demostró en 1907 que si
es una función holomórfica en el disco unitario D con parte real positiva, entonces [2] [3]
De hecho, es suficiente mostrar el resultado con g reemplazado por g r (z) = g ( rz ) para cualquier r <1 y luego pasar al límite r = 1. En ese caso, g se extiende a una función continua en el disco cerrado con parte real positiva y por fórmula de Schwarz
Usando la identidad
resulta que
- ,
por lo que define una medida de probabilidad, y
Por eso
Prueba de funciones similares a las estrellas
Dejar
ser una función similar a una estrella univalente en | z | <1. Nevanlinna (1921) demostró que
De hecho, según el criterio de Nevanlinna
tiene una parte real positiva para | z | <1. Así que por el lema de Carathéodory
Por otro lado
da la relación de recurrencia
donde a 1 = 1. Por lo tanto
por lo que se sigue por inducción que
Notas
- ^ Hayman 1994 , p. 14
- ^ Duren 1982 , p. 41
- ^ Pommerenke 1975 , p. 40
Referencias
- Carathéodory, C. (1907), "Über den Variabilitatsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen" , Math. Ana. , 64 : 95–115, doi : 10.1007 / bf01449883 , S2CID 116695038
- Duren, PL (1983), Funciones univalentes , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259 , Springer-Verlag, págs. 41-42, ISBN 0-387-90795-5
- Hayman, WK (1994), Funciones multivalentes , Cambridge Tracts in Mathematics, 110 (2a ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-46026-3
- Nevanlinna, R. (1921), "Über die konforme Abbildung von Sterngebieten", Ofvers. Finska Vet. Soc. Para H. , 53 : 1–21
- Pommerenke, C. (1975), Funciones univalentes, con un capítulo sobre diferenciales cuadráticas de Gerd Jensen , Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15 , Vandenhoeck & Ruprecht