En matemáticas , el producto Hadamard (también conocido como el elemento a elemento , entrywise [1] [2] : . Ch 5 o Schur [3] producto ) es una operación binaria que toma dos matrices de las mismas dimensiones y produce otra matriz de la misma dimensión que los operandos, donde cada elemento i , j es el producto de los elementos i , j de las dos matrices originales. Debe distinguirse del producto de matriz más común.. Se le atribuye y recibe su nombre del matemático francés Jacques Hadamard o del matemático alemán Issai Schur .
El producto Hadamard es asociativo y distributivo . A diferencia del producto matricial, también es conmutativo . [4]
Definición
Para dos matrices A y B de la misma dimensión m × n , el producto de Hadamard (o [1] [5] [6] [7] ) es una matriz de la misma dimensión que los operandos, con elementos dados por [4]
Para matrices de diferentes dimensiones ( m × n y p × q , donde m ≠ p o n ≠ q ), no está definido el producto Hadamard.
Ejemplo
Por ejemplo, el producto de Hadamard para una matriz A de 3 × 3 con una matriz B de 3 × 3 es
Propiedades
- El producto de Hadamard es conmutativo (cuando se trabaja con un anillo conmutativo), asociativo y distributivo sobre la suma. Es decir, si A , B y C son matrices del mismo tamaño y k es un escalar:
- La matriz identidad bajo la multiplicación de Hadamard de dos matrices m × n es una matriz m × n donde todos los elementos son iguales a 1 . Esto es diferente de la matriz identidad bajo la multiplicación de matrices regular, donde solo los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Además, una matriz tiene una inversa bajo la multiplicación de Hadamard si y solo si ninguno de los elementos es igual a cero. [8]
- Para los vectores x y Y , y diagonal matrices correspondientes D x y D y con estos vectores como sus diagonales principales, la siguiente identidad sostiene: [2] : 479
- El producto Hadamard es una submatriz principal del producto Kronecker .
- El producto de Hadamard satisface la desigualdad de rango
- Si A y B son matrices definidas positivas , entonces la siguiente desigualdad que involucra el producto de Hadamard es válida: [10]
- Si D y E son matrices diagonales , entonces [11]
- El producto de Hadamard de dos vectores y es lo mismo que la multiplicación matricial de un vector por la correspondiente matriz diagonal del otro vector:
La propiedad de producto mixto
- , dónde es producto Kronecker
- , dónde denota un producto que rompe la cara . [12]
- , dónde es un producto de Khatri-Rao en forma de columna .
Teorema del producto de Schur
El producto de Hadamard de dos matrices positivas-semidefinitas es positivo-semidefinito. [4] [9] Esto se conoce como el teorema del producto de Schur, [8] en honor al matemático ruso Issai Schur . Para dos matrices positivas-semidefinidas A y B , también se sabe que el determinante de su producto de Hadamard es mayor o igual que el producto de sus respectivos determinantes: [9]
En lenguajes de programación
La multiplicación de Hadamard está integrada en ciertos lenguajes de programación con varios nombres. En MATLAB , GNU Octave , GAUSS y HP Prime , se conoce como multiplicación de matrices , o en Julia , multiplicación de difusión , con el símbolo .*
. [13] En Fortran , R , [14] APL , J y Wolfram Language ( Mathematica ), se hace por simple operador de multiplicación *
, mientras que el producto de la matriz se realiza a través de la función matmul
, %*%
, +.×
, +/ .*
y los .
operadores, respectivamente. En Python con la biblioteca numérica NumPy , la multiplicación de objetos de matriz como a*b
produce el producto Hadamard y la multiplicación como a@b
produce el producto de matriz. Con la biblioteca simbólica SymPy , la multiplicación de objetos de matriz como ambos a*b
y a@b
producirá el producto de matriz, el producto de Hadamard se puede obtener con a.multiply_elementwise(b)
. [15] En C ++, la biblioteca Eigen proporciona una cwiseProduct
función miembro para la Matrix class ( a.cwiseProduct(b)
), mientras que la biblioteca Armadillo usa el operador %
para hacer expresiones compactas ( a % b
; a * b
es un producto matricial). El paquete R matrixcalc introduce la función hadamard.prod()
para Hadamard Producto de matrices numéricas o vectores.
Aplicaciones
El producto Hadamard aparece en algoritmos de compresión con pérdida como JPEG . El paso de decodificación implica un producto de entrada por entrada, en otras palabras, el producto Hadamard. [ cita requerida ]
También se utiliza en la literatura sobre aprendizaje automático , por ejemplo, para describir la arquitectura de redes neuronales recurrentes como GRU o LSTM . [ cita requerida ]
Operaciones análogas
Otras operaciones de Hadamard también se ven en la literatura matemática, [16] a saber, la raíz de Hadamard y la potencia de Hadamard (que en efecto son lo mismo debido a índices fraccionarios), definidas para una matriz tal que:
Para
y para
El inverso de Hadamard dice: [16]
Una división de Hadamard se define como: [17] [18]
El producto facial penetrante
Según la definición de V. Slyusar el producto de la cara penetrante de la matriz p × gy matriz n- dimensional( n > 1) con p × g bloques () es una matriz de tamaño de la forma: [19]
Ejemplo
Si
luego
Principales propiedades
- ; [19]
- ,
dónde denota el producto de matrices de división de caras ,
- , dónde es un vector.
Aplicaciones
El producto de la cara penetrante se utiliza en la teoría de la matriz tensorial de los conjuntos de antenas digitales . [19] Esta operación también se puede utilizar en modelos de redes neuronales artificiales , específicamente capas convolucionales. [20]
Ver también
- Producto interior Frobenius
- Producto puntiagudo
- Producto Kronecker
- Producto Khatri – Rao
Referencias
- ^ a b "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
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