En matemáticas, el producto Khatri-Rao se define como [1] [2]
en el que el bloque ij -ésimo es el producto de Kronecker de tamaño m i p i × n j q j de los bloques correspondientes de A y B , suponiendo que el número de particiones de fila y columna de ambas matrices es igual. El tamaño del producto es entonces (∑ i m i p i ) × (∑ j n j q j ) .
Por ejemplo, si A y B son matrices divididas 2 × 2, por ejemplo:
obtenemos:
Ésta es una submatriz del producto de Tracy-Singh de las dos matrices (cada partición en este ejemplo es una partición en una esquina del producto de Tracy-Singh ) y también puede denominarse producto de Kronecker en bloque.
Un producto de Kronecker en columna de dos matrices también puede denominarse producto de Khatri-Rao. Este producto asume que las particiones de las matrices son sus columnas. En este caso m 1 = m , p 1 = p , n = q y para cada j : n j = p j = 1 . El producto resultante es un mp × n matriz de la que cada columna es el producto de Kronecker de las columnas correspondientes de A y B . Usando las matrices de los ejemplos anteriores con las columnas particionadas:
así que eso:
Esta versión en columnas del producto Khatri-Rao es útil en enfoques de álgebra lineal para el procesamiento analítico de datos [3] y en la optimización de la solución de problemas inversos que tratan con una matriz diagonal. [4] [5]
En 1996, se propuso el producto Khatri-Rao por columnas para estimar los ángulos de llegada (AOA) y los retrasos de las señales de trayectos múltiples [6] y cuatro coordenadas de fuentes de señales [7] en una red de antenas digitales .
Producto de división de caras de matrices
El concepto alternativo del producto matricial, que utiliza la división por filas de matrices con una cantidad determinada de filas, fue propuesto por V. Slyusar [8] en 1996. [7] [9] [10] [11] [12]
Esta operación de matriz se denominó el "producto de división de caras" de las matrices [9] [11] o el "producto transpuesto de Khatri-Rao". Este tipo de operación se basa en productos de Kronecker fila por fila de dos matrices. Usando las matrices de los ejemplos anteriores con las filas particionadas:
el resultado se puede obtener: [7] [9] [11]
- Transponer ( V. Slyusar , 1996 [7] [9] [10] ):
- ,
- Bilinealidad y asociatividad [7] [9] [10] :
donde A , B y C son matrices yk es un escalar ,
- , [10]
dónde es un vector , - La propiedad del producto mixto ( V. Slyusar , 1997 [10] ):
- ,
- ,
- [13]
- , [14]
dónde denota el producto Hadamard , - , [10]
- , [7]
- , [14]
-
- , [11] [13]
Similar: - ,
-
- , [10]
- ,
dónde y son vectores , - , [15] ,
-
- , [16]
dónde y son vectores (es una combinación de propiedades 3 y 8), de manera similar:
-
- ,
dónde es la convolución vectorial yes la matriz de transformada de Fourier (este resultado es una evolución de las propiedades del boceto de conteo [17] ), -
- , [18]
dónde es matriz, es matriz, es un vector de unos de longitud , y es un vector de unos de longitud o - , [19]
dónde es matriz, significa multiplicación elemento por elemento y es un vector de unos de longitud . - ,
dónde denota el producto de la cara penetrante de las matrices. [11] Del mismo modo: - , dónde es matriz, es matriz,.
-
- , [10]
- , [19]
dónde es el vector que consta de los elementos diagonales de , significa apilar las columnas de una matriz uno encima del otro para dar un vector. -
- . [11] [13]
Similar: - ,
dónde y son vectores
Ejemplos [16]
Teorema [16]
Si , dónde son independientes comprenden una matriz con filas iid , tal que
- y ,
luego para cualquier vector
con probabilidad si la cantidad de filas
En particular, si las entradas de están puede conseguir
que coincide con el lema de Johnson-Lindenstrauss de Cuándo es pequeño.
Producto de división de caras de bloques transpuestos en el contexto de un modelo de radar de múltiples caras
[13]De acuerdo con la definición de V. Slyusar [7] [11] el producto de división de caras de bloques de dos matrices particionadas con una cantidad dada de filas en bloques
Se puede escribir como :
El producto de división de caras de bloques transpuestos (o la versión de bloques de columnas del producto Khatri-Rao) de dos matrices divididas con una cantidad determinada de columnas en bloques tiene una vista: [7] [11]
Principales propiedades
- Transponer :
- [13]
El producto de división de caras y el producto de división de caras de bloques utilizados en la teoría de matriz tensorial de las matrices de antenas digitales . Estas operaciones se utilizan también en:
- Sistemas de inteligencia artificial y aprendizaje automático para minimizar las operaciones de convolución y croquis tensorial , [16]
- Modelos populares de procesamiento del lenguaje natural y modelos hipergráficos de similitud, [20]
- Modelo de matriz lineal generalizada en estadística [19]
- Aproximación de datos P-spline bidimensional y multidimensional , [18]
- Estudios de interacciones genotipo x ambiente. [21]