Raíz cuadrada funcional

En matemáticas , una raíz cuadrada funcional (a veces llamada media iteración ) es una raíz cuadrada de una función con respecto a la operación de composición de funciones . En otras palabras, una raíz cuadrada funcional de una función g es una función f que satisface f ( f ( x )) = g ( x ) para todo x .

Las notaciones que expresan que f es una raíz cuadrada funcional de g son f = g _[1/2] y f = g _1/2 . ^{[ cita requerida ]}

Un procedimiento sistemático para producir raíces n funcionales arbitrarias (incluidas n infinitesimales, negativas y reales arbitrarias ) de funciones g : ℂ →ℂ se basa en las soluciones de la ecuación de Schröder . ^{[3] [4] [5]} Existen infinitas soluciones triviales cuando se permite que el dominio de una función raíz f sea ​​lo suficientemente mayor que el de g .

Iteraciones de la función seno ( azul ), en el primer semiperíodo . Semiiterado ( naranja ), es decir, la raíz cuadrada funcional del seno; la raíz cuadrada funcional de eso, el cuarto de iteración (negro) encima de él, y otras iteraciones fraccionarias hasta la iteración 1/64. Las funciones debajo del seno son seis iteraciones integrales debajo de él, comenzando con la segunda iteración ( rojo ) y terminando con la iteración 64. El triángulo de envolvente verde representa la iteración nula límite, la función de diente de sierra sirve como punto de partida que conduce a la función de seno. La línea discontinua es la primera iteración negativa, es decir, el inverso del seno ( arcsin ).