En matemáticas , un subgrupo de Hall de un grupo finito G es un subgrupo cuyo orden es coprime a su índice . Fueron presentados por el teórico de grupos Philip Hall ( 1928 ).
A Pasillo divisor (también llamado un divisor unitaria ) de un número entero n es un divisor d de n tal que d y n / d son primos entre sí. La forma más fácil de encontrar los divisores de Hall es escribir la factorización prima para el número en cuestión y tomar cualquier producto de los términos multiplicativos (la potencia total de cualquiera de los factores primos), incluido 0 de ellos para un producto de 1 o de todos. de ellos para un producto igual al número original. Por ejemplo, para encontrar los divisores Hall de 60, muestre que la factorización prima es 2 2· 3 · 5 y tome cualquier producto de {3,4,5}. Por lo tanto, los divisores Hall de 60 son 1, 3, 4, 5, 12, 15, 20 y 60.
Un subgrupo Pasillo de G es un subgrupo cuyo orden es un divisor Salón de la orden de G . En otras palabras, es un subgrupo cuyo orden es coprime a su índice.
Si π es un conjunto de números primos, a continuación, una sala π -subgroup es un subgrupo cuyo orden es un producto de números primos en π , y cuyo índice no es divisible por ningún primos en π .
Hall (1928) demostró que si G es un grupo resoluble finito y π es cualquier conjunto de primos, entonces G tiene un subgrupo π de Hall , y dos subgrupos π de Hall cualesquiera son conjugados. Además, cualquier subgrupo cuyo orden sea un producto de los números primos en π está contenido en algún subgrupo Hall π . Este resultado puede considerarse como una generalización del teorema de Sylow a los subgrupos de Hall, pero los ejemplos anteriores muestran que tal generalización es falsa cuando el grupo no tiene solución.
La existencia de subgrupos de Hall se puede probar por inducción del orden de G , utilizando el hecho de que cada grupo finito resoluble tiene un subgrupo abeliano elemental normal . Más precisamente, fije un subgrupo normal mínimo A , que sea un grupo π o un grupo π ' ya que G es π -separable. Por inducción hay un subgrupo H de G que contiene A de tal manera que H / A es un Salón π -subgroup de G / A . Si A es un grupo π entoncesH es un Salón π -subgroup de G . Por otro lado, si A es un π' -group, a continuación, por el teorema de Schur-Zassenhaus A tiene un complemento en H , que es un Salón π -subgroup de G .