Ecuación de Hamilton-Jacobi

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En física , la ecuación de Hamilton-Jacobi , llamada así por William Rowan Hamilton y Carl Gustav Jacob Jacobi , es una formulación alternativa de la mecánica clásica , equivalente a otras formulaciones como las leyes del movimiento de Newton , la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana . La ecuación de Hamilton-Jacobi es particularmente útil para identificar cantidades conservadas para sistemas mecánicos, lo que puede ser posible incluso cuando el problema mecánico en sí no se puede resolver por completo.

La ecuación de Hamilton-Jacobi es también la única formulación de la mecánica en la que el movimiento de una partícula se puede representar como una onda. En este sentido, cumplió un objetivo de larga data de la física teórica (que data al menos de Johann Bernoulli en el siglo XVIII) de encontrar una analogía entre la propagación de la luz y el movimiento de una partícula. La ecuación de onda seguida por los sistemas mecánicos es similar, pero no idéntica, a la ecuación de Schrödinger , como se describe a continuación; por esta razón, la ecuación de Hamilton-Jacobi se considera el "acercamiento más cercano" de la mecánica clásica a la mecánica cuántica . ^{[1] [2]}

En matemáticas , la ecuación de Hamilton-Jacobi es una condición necesaria que describe la geometría extrema en generalizaciones de problemas del cálculo de variaciones . Puede entenderse como un caso especial de la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman de programación dinámica . ^[3]

Variables en negrita como representan una lista de coordenadas generalizadas ,${\ estilo de visualización \ mathbf {q}}$${\ Displaystyle N}$

La notación de producto punto entre dos listas del mismo número de coordenadas es una forma abreviada de la suma de los productos de los componentes correspondientes, como

Sea la matriz hessiana invertible. La relación${\textstyle H_{\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\left\{\parcial ^{2}{\cal {L}}/\ parcial {\dot {q}}^{i}\parcial {\dot {q}}^{j}\right\}_{ij}}$

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