En teoría de grupos , una palabra es cualquier producto escrito de elementos de grupo y sus inversos. Por ejemplo, si x , y y z son elementos de un grupo G , entonces xy , z −1 xzz e y −1 zxx −1 yz −1 son palabras en el conjunto { x , y , z }. Dos palabras diferentes pueden evaluar el mismo valor en G , [1] o incluso en cada grupo. [2] Las palabras juegan un papel importante en la teoría degrupos y presentaciones libres , y son objetos centrales de estudio en la teoría combinatoria de grupos .
Definición
Let G ser un grupo, y dejar que S sea un subconjunto de G . Una palabra en S es cualquier expresión de la forma
donde s 1 , ..., s n son elementos de S y cada ε i es ± 1. El número n se conoce como la longitud de la palabra.
Cada palabra en S representa un elemento de G , es decir, el producto de la expresión. Por convención, el elemento de identidad (único) [3] se puede representar mediante la palabra vacía , que es la palabra única de longitud cero.
Notación
Al escribir palabras, es común utilizar la notación exponencial como abreviatura. Por ejemplo, la palabra
podría escribirse como
Esta última expresión no es una palabra en sí misma, es simplemente una notación más corta del original.
Cuando se trata de palabras largas, puede ser útil usar una línea alta para denotar inversas de elementos de S . Utilizando la notación de líneas superpuestas, la palabra anterior se escribiría de la siguiente manera:
Palabras y presentaciones
Un subconjunto S de un grupo G se denomina un conjunto de generación de si cada elemento de G puede ser representado por una palabra en S . Si S es un conjunto de generación, una relación es un par de palabras en S que representan el mismo elemento de G . Por lo general, se escriben como ecuaciones, p. Ej. Un conjunto de relaciones define G si cada relación en G se sigue lógicamente de aquellas en, usando los axiomas para un grupo . Una presentación para G es un par, donde S es un grupo electrógeno para G y es un conjunto definitorio de relaciones.
Por ejemplo, los cuatro grupos de Klein se pueden definir por la presentación
Aquí 1 denota la palabra vacía, que representa el elemento de identidad.
Cuando S no es un conjunto de generación para G , el conjunto de elementos representados por palabras S es un subgrupo de G . Esto se conoce como el subgrupo de G generado por S , y generalmente se denota. Es el subgrupo más pequeño de G que contiene los elementos de S .
Palabras reducidas
Cualquier palabra en la que aparezca un generador junto a su propia inversa ( xx −1 o x −1 x ) se puede simplificar omitiendo el par redundante:
Esta operación se conoce como reducción y no cambia el elemento de grupo representado por la palabra. (Las reducciones pueden considerarse relaciones que se derivan de los axiomas de grupo).
Una palabra reducida es una palabra que no contiene pares redundantes. Cualquier palabra se puede simplificar a una palabra reducida realizando una secuencia de reducciones:
El resultado no depende del orden en que se realicen las reducciones.
Si S es cualquier conjunto, el grupo libre sobre S es el grupo con presentación. Es decir, el grupo libre sobre S es el grupo generado por los elementos de S , sin relaciones extra. Cada elemento del grupo libre se puede escribir de forma única como una palabra reducida en S .
Una palabra se reduce cíclicamente si y solo si se reduce cada permutación cíclica de la palabra.
Formas normales
Una forma normal para un grupo G con la generación de conjunto S es una elección de una palabra reducida en S para cada elemento de G . Por ejemplo:
- Las palabras 1, i , j , ij son una forma normal para los cuatro grupos de Klein .
- Las palabras 1, r , r 2 , ..., r n-1 , s , sr , ..., sr n-1 son una forma normal del grupo diedro Dih n .
- El conjunto de palabras reducidos en S son una forma normal para el grupo libre sobre S .
- El conjunto de palabras de la forma x m y n para m, n ∈ Z son una forma normal para el producto directo de los grupos cíclicos〈x〉 y 〈y〉.
Operaciones sobre palabras
El producto de dos palabras se obtiene por concatenación:
Incluso si se reducen las dos palabras, es posible que el producto no lo sea.
La inversa de una palabra se obtiene invirtiendo cada generador y cambiando el orden de los elementos:
El producto de una palabra con su inversa se puede reducir a la palabra vacía:
Puede mover un generador desde el principio hasta el final de una palabra mediante la conjugación :
El problema de la palabra
Dada una presentación para un grupo G , el problema de la palabra es el problema algorítmico de decidir, dada como entrada dos palabras en S , si representan el mismo elemento de G . El problema verbal es uno de los tres problemas algorítmicos para grupos propuestos por Max Dehn en 1911. Pyotr Novikov demostró en 1955 que existe un grupo G presentado de manera finita, de modo que el problema verbal para G es indecidible ( Novikov 1955 ).
Notas
- ^ por ejemplo, f d r 1 y r 1 f c en el grupo de simetrías cuadradas
- ^ por ejemplo, xy y xzz −1 y
- ^ Unicidad del elemento de identidad e inversos
Referencias
- Epstein, David ; Cannon, JW ; Holt, DF; Levy, SVF; Paterson, MS ; Thurston, WP (1992). Procesamiento de textos en grupos . AK Peters. ISBN 0-86720-244-0..
- Novikov, PS (1955). "Sobre la insolubilidad algorítmica del problema verbal en la teoría de grupos". Trudy Mat. Inst. Steklov (en ruso). 44 : 1-143.
- Robinson, Derek John Scott (1996). Un curso de teoría de grupos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94461-3.
- Rotman, Joseph J. (1995). Introducción a la teoría de grupos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.
- Schupp, Paul E ; Lyndon, Roger C. (2001). Teoría de grupos combinatoria . Berlín: Springer. ISBN 3-540-41158-5.
- Solitar, Donald ; Magnus, Wilhelm ; Karrass, Abraham (2004). Teoría combinatoria de grupos: presentaciones de grupos en términos de generadores y relaciones . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-43830-9.
- Stillwell, John (1993). Topología clásica y teoría combinatoria de grupos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97970-0.