En matemáticas , más específicamente en álgebra abstracta , un anillo finito es un anillo que tiene un número finito de elementos. Cada campo finito es un ejemplo de un anillo finito, y la parte aditiva de cada anillo finito es un ejemplo de un grupo finito abeliano , pero el concepto de anillos finitos por derecho propio tiene una historia más reciente.
Aunque los anillos tienen más estructura que los grupos, la teoría de los anillos finitos es más simple que la de los grupos finitos. Por ejemplo, la clasificación de grupos finitos simples fue uno de los mayores avances de las matemáticas del siglo XX, y su demostración abarca miles de páginas de revistas. Por otro lado, se sabe desde 1907 que cualquier anillo simple finito es isomorfo al anillode n- por- n matrices sobre un campo finito de orden q (como consecuencia de los teoremas de Wedderburn, descritos a continuación).
El número de anillos con m elementos, para m un número natural, se enumera en OEIS : A027623 en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros .
Campo finito
La teoría de campos finitos es quizás el aspecto más importante de la teoría de anillos finitos debido a sus íntimas conexiones con la geometría algebraica , la teoría de Galois y la teoría de números . Un aspecto importante, pero bastante antiguo, de la teoría es la clasificación de campos finitos ( Jacobson 1985 , p. 287) :
- El orden o número de elementos de un campo finito es igual a p n , donde p es un número primo llamado característica del campo y n es un número entero positivo.
- Para cada número primo p y entero positivo n , existe un campo finito con p n elementos.
- Dos campos finitos cualesquiera con el mismo orden son isomorfos .
A pesar de la clasificación, los campos finitos siguen siendo un área activa de investigación, incluidos los resultados recientes de la conjetura de Kakeya y los problemas abiertos con respecto al tamaño de las raíces primitivas más pequeñas (en la teoría de números).
Un campo finito F puede ser utilizado para construir un espacio vectorial de n dimensiones más F . El anillo de la matriz A de n × n matrices con elementos de F se utiliza en geometría Galois , con el grupo lineal proyectiva que sirve como el grupo multiplicativo de A .
Teoremas de Wedderburn
El pequeño teorema de Wedderburn afirma que cualquier anillo de división finita es necesariamente conmutativo:
- Si cada elemento r distinto de cero de un anillo finito R tiene un inverso multiplicativo, entonces R es conmutativo (y por lo tanto un campo finito ).
Nathan Jacobson descubrió más tarde otra condición que garantiza la conmutatividad de un anillo: si para cada elemento r de R existe un número entero n > 1 tal que r n = r , entonces R es conmutativo. [1] También se conocen condiciones más generales que garantizan la conmutatividad de un anillo. [2]
Otro teorema más de Wedderburn tiene, como consecuencia, un resultado que demuestra que la teoría de los anillos finitos simples es de naturaleza relativamente sencilla. Más específicamente, cualquier anillo simple finito es isomorfo al anillode n por n matrices sobre un campo finito de orden q . Esto se sigue de dos teoremas de Joseph Wedderburn establecidos en 1905 y 1907 (uno de los cuales es el pequeño teorema de Wedderburn).
Enumeración
(Advertencia: las enumeraciones en esta sección incluyen anillos que no necesariamente tienen una identidad multiplicativa, a veces llamados rngs .) En 1964, David Singmaster propuso el siguiente problema en el American Mathematical Monthly : "(1) ¿Cuál es el orden de los no más pequeños? -Anillo trivial con identidad que no es un campo? Encuentra dos de esos anillos con este orden mínimo. ¿Hay más? (2) ¿Cuántos anillos de orden cuatro hay? " Se puede encontrar la solución de DM Bloom en una prueba de dos páginas [3] de que hay once anillos de orden 4, cuatro de los cuales tienen una identidad multiplicativa. De hecho, los anillos de cuatro elementos introducen la complejidad del tema. Hay tres anillos sobre el grupo cíclico C 4 y ocho anillos sobre el grupo de cuatro Klein . Hay una muestra interesante de las herramientas discriminatorias ( nilpotentes , divisores de cero , idempotentes e identidades de izquierda y derecha) en las notas de la conferencia de Gregory Dresden. [4]
La ocurrencia de no conmutatividad en anillos finitos se describió en ( Eldrige 1968 ) en dos teoremas: si el orden m de un anillo finito con 1 tiene una factorización libre de cubo, entonces es conmutativo . Y si un anillo finito no conmutativo con 1 tiene el orden de un primo al cubo, entonces el anillo es isomorfo al anillo de matriz triangular superior 2 × 2 sobre el campo de Galois del primo. El estudio de los anillos del orden del cubo de un número primo se desarrolló más en ( Raghavendran 1969 ) y ( Gilmer & Mott 1973 ). A continuación, Flor y Wessenbauer (1975) realizaron mejoras en el caso del cubo de una prima. Con el trabajo definitivo sobre las clases de isomorfismo ( Antipkin y Elizarov 1982 ) se demostró que para p > 2, el número de clases es 3 p + 50.
Existen referencias anteriores en el tema de los anillos finitos, como Robert Ballieu [5] y Scorza. [6]
Estos son algunos de los hechos que se conocen sobre el número de anillos finitos (no necesariamente con la unidad) de un orden dado (supongamos que p y q representan números primos distintos):
- Hay dos anillos finitos de orden p .
- Hay cuatro anillos finitos de orden pq .
- Hay once anillos finitos de orden p 2 .
- Hay veintidós anillos finitos de orden p 2 q .
- Hay cincuenta y dos anillos finitos de orden ocho.
- Hay 3 p + 50 anillos finitos de orden p 3 , p > 2.
El número de anillos con n elementos es (con a (0) = 1 )
- 1, 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 390, 2, 22, 2, 22, 4, 4, 2, 104, 11, 4, 59, 22, 2, 8, 2,> 18590, 4, 4, 4, 121, 2, 4, 4, 104, 2, 8, 2, 22, 22, 4, 2, 780, 11 , 22, ... (secuencia A027623 en la OEIS )
Ver también
- Línea proyectiva sobre un anillo § Sobre anillos finitos
Notas
- ↑ Jacobson, 1945
- ^ Pinter-Lucke, J. (mayo de 2007), "Condiciones de conmutatividad para anillos: 1950-2005", Expositiones Mathematicae , 25 (2): 165-174, doi : 10.1016 / j.exmath.2006.07.001
- ^ Maestro de canto, David; Bloom, DM (octubre de 1964), "E1648", American Mathematical Monthly , 71 (8): 918–920, doi : 10.2307 / 2312421 , JSTOR 2312421
- ^ Dresden, Gregory (2005), Rings with four elements , archivado desde el original el 2010-08-02 , consultado el 2009-07-28
- ^ Ballieu, Robert (1947), "Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif", Ann. Soc. Sci. Bruselas , Série I, 61 : 222–7, MR 0022841 , Zbl 0031.10802
- ↑ Scorza (1935), ver revisión de Ballieu por Irving Kaplansky en Mathematical Reviews
Referencias
- Dresden, Gregory (2005), Small Rings , archivado desde el original el 1 de mayo de 2017un informe de investigación del trabajo de 13 estudiantes y el Prof. Sieler en una clase de álgebra abstracta de la Universidad Washington & Lee (Matemáticas 322).
- Eldridge, KE (mayo de 1968), "Órdenes de anillos finitos no conmutativos con unidad", American Mathematical Monthly , 75 (5): 512–4, doi : 10.2307 / 2314716 , JSTOR 2314716
- Raghavendran, R. (1969), "Anillos asociativos finitos" , Compositio Mathematica , 21 (2): 195-229
- Gilmer, Robert; Mott, Joe (1973), "Associative rings of order p3", Proceedings of the Japan Academy , 49 (10): 795–9, doi : 10.3792 / pja / 1195519146
- Antipkin, VG; Elizarov, VP (1982), "Rings of order p 3 ", Siberian Mathematical Journal , 23 (4): 457–464, doi : 10.1007 / BF00968650
- McDonald, Bernard A. (1974), Anillos finitos con identidad , Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-6161-5, Zbl 0294.16012
- Bini, G; Flamini, F (2002), Anillos conmutativos finitos y sus aplicaciones , Kluwer, ISBN 978-1-4020-7039-6, Zbl 1095.13032
- Saniga, Metod; Planat, Michel; Kibler, Maurice R .; Pracna, Petr (2007), "Una clasificación de las líneas proyectivas sobre anillos pequeños", Chaos, Solitons & Fractals , 33 (4): 1095-1102, arXiv : math / 0605301 , Bibcode : 2007CSF .... 33.1095S , doi : 10.1016 / j.chaos.2007.01.008 , MR 2318902
enlaces externos
- Clasificación de anillos conmutativos finitos