Desigualdad de Hardy-Littlewood

En análisis matemático , la desigualdad de Hardy-Littlewood , el nombre de GH Hardy y John Edensor Littlewood , los estados que si f y g son no negativos medibles funciones reales de fuga en el infinito que se definen en n - dimensional espacio euclidiano R ⁿ luego

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,dx\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x)\,dx}$

donde f ^* y g ^* son los reordenamientos decrecientes simétricos de f ( x ) y g ( x ), respectivamente. ^{[1] [2]}

Prueba

De la representación de la torta de capas tenemos: ^{[1] [2]}

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }\chi _{f(x)>r}\,dr}$

${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{\infty }\chi _{g(x)>s}\,ds}$

donde denota la función indicadora del subconjunto E _f dada por${\displaystyle \chi _{f(x)>r}}$

${\displaystyle E_{f}=\left\{x\in X:f(x)>r\right\}}$

De manera análoga, denota la función indicadora del subconjunto E _g dada por${\displaystyle \chi _{g(x)>s}}$

${\displaystyle E_{g}=\left\{x\in X:g(x)>s\right\}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,dx=\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\chi _{f(x)>r}\chi _{g(x)>s}\,dr\,ds\,dx}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{f(x)>r\cap g(x)>s}\,dx\,dr\,ds}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\mu \left(\left\{f(x)>r\right\}\cap \left\{g(x)>s\right\}\right)\,dr\,ds}$

${\displaystyle \leq \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\min \left(\mu \left(f(x)>r\right);\mu \left(g(x)>s\right)\right)\,dr\,ds}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\min \left(\mu \left(f^{*}(x)>r\right);\mu \left(g^{*}(x)>s\right)\right)\,dr\,ds}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\mu \left(\left\{f^{\ast }(x)>r\right\}\cap \left\{g^{\ast }(x)>s\right\}\right)\,dr\,ds}$

${\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x)\,dx}$

Una aplicación

Deje que la variable aleatoria se distribuye normalmente con varianza media y finita distinta de cero , luego, utilizando la desigualdad de Hardy-Littlewood, se puede demostrar que para el momento recíproco para el valor absoluto de es${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle 0<\delta <1}$${\displaystyle \delta ^{\text{th}}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[{\frac {1}{\vert X\vert ^{\delta }}}\right]&\leq 2^{\frac {(1-\delta )}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {1-\delta }{2}}\right)}{\sigma ^{\delta }{\sqrt {2\pi }}}}{\text{ irrespective of the value of }}\mu \in \mathbb {R} .\end{aligned}}}$^[3]

La técnica que se utiliza para obtener la propiedad anterior de la distribución normal se puede utilizar para otras distribuciones unimodales.

Ver también

• Reordenamiento de la desigualdad
• Desigualdad de suma de Chebyshev
• Espacio Lorentz

Referencias

1. Lieb, Elliott ; Pérdida, Michael (2001). Análisis . Estudios de Posgrado en Matemáticas. 14 (2ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0821827833.
2. Burchard, Almut. Un curso breve sobre las desigualdades de reordenamiento (PDF) .
3. Pal, Subhadip; Khare, Kshitij (2014). "Ergodicidad geométrica para modelos de contracción bayesianos" . Revista Electrónica de Estadística . 8 (1): 604–645. doi : 10.1214 / 14-EJS896 . ISSN 1935-7524 . Consultado el 12 de julio de 2021 .