En el análisis armónico abstracto matemático , el espacio de Schwartz de Harish-Chandra es un espacio de funciones en un grupo de Lie semisimple cuyas derivadas están disminuyendo rápidamente, estudiado por Harish-Chandra ( 1966 , sección 9). Es un análogo del espacio de Schwartz en un espacio vectorial real y se utiliza para definir el espacio de distribuciones templadas en un grupo de Lie semisimple.
Definición
La definición del espacio de Schwartz utiliza la función Ξ de Harish-Chandra y su función σ . La función σ está definida por
para x = k exp X con k en K y X en p para una descomposición de Cartan G = K exp p del grupo de Lie G , donde || X || es una norma euclidiana K -invariante en p , generalmente elegida para ser la forma Killing . ( Harish-Chandra 1966 , sección 7).
El espacio de Schwartz en G consiste aproximadamente en las funciones cuyas derivadas disminuyen rápidamente en comparación con Ξ . Más precisamente, si G está conectado, entonces el espacio de Schwartz consta de todas las funciones suaves f en G tales que
es acotado, donde D es un producto de operadores diferenciales invariantes a la izquierda y a la derecha en G ( Harish-Chandra 1966 , sección 9).
Referencias
- Harish-Chandra (1966), "Series discretas para grupos de Lie semisimple. II. Determinación explícita de los caracteres" , Acta Mathematica , 116 : 1–111, doi : 10.1007 / BF02392813 , ISSN 0001-5962 , MR 0219666 , S2CID 125806386
- Wallach, Nolan R (1988), Real reductive groups. I , Matemáticas puras y aplicadas, 132 , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-732960-4, MR 0929683