En matemáticas, una representación templada de un grupo de Lie lineal semisimple es una representación que tiene una base cuyos coeficientes de matriz se encuentran en el espacio L p
- L 2 + ε ( G )
para cualquier ε> 0.
Formulación
Esta condición, como se acaba de dar, es ligeramente más débil que la condición de que los coeficientes de la matriz son integrables al cuadrado , en otras palabras, se encuentran en
- L 2 ( G ),
que sería la definición de una representación en serie discreta . Si G es un grupo de Lie lineal semisimple con un subgrupo compacto máximo K , una representación admisible ρ de G se atenúa si la condición anterior se cumple para los coeficientes de matriz finita K de ρ.
La definición anterior también se utiliza para grupos más generales, como p -grupos de Lie ádicos y extensiones centrales finitas de grupos algebraicos reales semisimple. La definición de "representación templada" tiene sentido para grupos localmente compactos unimodulares arbitrarios , pero en grupos con centros infinitos, como extensiones centrales infinitas de grupos de Lie semisimple, no se comporta bien y generalmente se reemplaza por una definición ligeramente diferente. Más precisamente, una representación irreductible se llama templada si es unitaria cuando está restringida al centro Z , y los valores absolutos de los coeficientes de la matriz están en L 2 + ε ( G / Z ).
Las representaciones templadas en grupos de Lie semisimples fueron definidas y estudiadas por primera vez por Harish-Chandra (usando una definición diferente pero equivalente), quien demostró que son exactamente las representaciones necesarias para el teorema de Plancherel . Fueron clasificados por Knapp y Zuckerman, y utilizados por Langlands en la clasificación de Langlands de representaciones irreductibles de un grupo reductor de Lie G en términos de las representaciones templadas de grupos más pequeños.
Historia
Las representaciones templadas irreductibles fueron identificadas por Harish-Chandra en su trabajo sobre análisis armónico en un grupo de Lie semisimple como aquellas representaciones que contribuyen a la medida de Plancherel . La definición original de una representación templada, que tiene ciertas ventajas técnicas, es que su carácter Harish-Chandra debería ser una "distribución templada" (consulte la sección sobre esto a continuación). De los resultados de Harish-Chandra se sigue que es equivalente a la definición más elemental dada anteriormente. Las representaciones templadas también parecen jugar un papel fundamental en la teoría de las formas automórficas . Esta conexión probablemente fue realizada por primera vez por Satake (en el contexto de la conjetura de Ramanujan-Petersson ) y Robert Langlands y sirvió como motivación para que Langlands desarrollara su esquema de clasificación para representaciones admisibles irreductibles de grupos algebraicos reductivos reales y p- ádicos en términos de las representaciones templadas de grupos más pequeños. Las conjeturas precisas que identifican el lugar de las representaciones templadas en el espectro automórfico fueron formuladas más tarde por James Arthur y constituyen una de las partes en desarrollo más activo de la teoría moderna de las formas automórficas.
Análisis armónico
Las representaciones templadas juegan un papel importante en el análisis armónico de grupos de Lie semisimplejos . Un irreductible unitaria representación de un grupo de Lie semisimple G es templado si y sólo si está en el apoyo de la medida Plancherel de G . En otras palabras, las representaciones templadas son precisamente la clase de representaciones de G que aparecen en la descomposición espectral de las funciones L 2 en el grupo (mientras que las representaciones en series discretas tienen una propiedad más fuerte de que una representación individual tiene una medida espectral positiva). Esto contrasta con la situación de los grupos de Lie abelianos y con solución más general, donde se necesita una clase diferente de representaciones para explicar completamente la descomposición espectral. Esto se puede ver ya en el ejemplo más simple del grupo aditivo R de los números reales, para el cual los elementos matriciales de las representaciones irreducibles no caen a 0 en el infinito.
En el programa de Langlands , las representaciones templadas de grupos de Lie reales son aquellas que provienen de caracteres unitarios de tori por la funcionalidad de Langlands.
Ejemplos de
- El teorema de Plancherel para un grupo de Lie semisimple implica representaciones que no son series discretas . Esto ya queda claro en el caso del grupo SL 2 ( R ) . Las principales representaciones en serie de SL 2 ( R ) están templadas y dan cuenta de la descomposición espectral de funciones apoyadas en los elementos hiperbólicos del grupo. Sin embargo, no ocurren de manera discreta en la representación regular de SL 2 ( R ).
- Los dos límites de las representaciones de series discretas de SL 2 ( R ) son series templadas pero no discretas (aunque aparecen "discretamente" en la lista de representaciones unitarias irreducibles).
- Para grupos de Lie no semisimples , las representaciones con coeficientes matriciales en L 2 + ε no siempre son suficientes para el teorema de Plancherel , como muestra el ejemplo del grupo aditivo R de números reales y la integral de Fourier ; de hecho, todas las representaciones unitarias irreductibles de R contribuyen a la medida de Plancherel, pero ninguna de ellas tiene coeficientes de matriz en L 2 + ε .
- Las representaciones en serie complementarias de SL 2 ( R ) son representaciones unitarias irreductibles que no están templadas.
- La representación trivial de un grupo G es una representación unitaria irreductible que no se templa a menos que G sea compacto .
Clasificación
Las representaciones templadas irreductibles de un grupo de Lie semisimple fueron clasificadas por Knapp y Zuckerman ( 1976 , 1982 ). De hecho, clasificaron una clase más general de representaciones llamadas representaciones básicas . Si P = MAN es la descomposición Langlands de un cuspidal parabólico subgrupo, a continuación, una representación básica se define para ser la representación parabólicamente inducida asociado a un límite de la representación serie discreta de M y una representación unitaria del grupo abeliano A . Si el límite de la representación de series discretas es de hecho una representación de series discretas, entonces la representación básica se denomina representación de series discretas inducidas . Cualquier representación templada irreducible es una representación básica y, a la inversa, cualquier representación básica es la suma de un número finito de representaciones templadas irreductibles. Más precisamente, es una suma directa de 2 r representaciones templadas irreductibles indexadas por los caracteres de un grupo abeliano elemental R de orden 2 r (llamado grupo R ). Cualquier representación básica y, en consecuencia, cualquier representación templada irreductible, es un sumando de una representación en serie discreta inducida. Sin embargo, no siempre es posible representar una representación templada irreductible como una representación en serie discreta inducida, por lo que se considera la clase más general de representaciones básicas.
Entonces, las representaciones templadas irreductibles son solo las representaciones básicas irreducibles, y se pueden clasificar enumerando todas las representaciones básicas y seleccionando aquellas que son irreducibles, en otras palabras, aquellas que tienen un grupo R trivial.
Distribuciones templadas
Fije un grupo de Lie semisimple G con el subgrupo K máximo compacto . Harish-Chandra (1966 , sección 9) define una distribución de G a ser templado si se define en el espacio de Schwartz de G . El espacio de Schwartz se define a su vez como el espacio de funciones suaves f en G de tal manera que para cualquier r real y cualquier función g obtenida de f actuando a la izquierda o derecha por elementos del álgebra envolvente universal del álgebra de Lie de G , la función
está ligado. Aquí Ξ es una determinada función esférica en G , invariante bajo la multiplicación izquierda y derecha por K , y σ es la norma del logaritmo de p , donde un elemento g de G se escribe como: g = kp para k en K y p en P .
Referencias
- Cowling, M., Haagerup, U., Howe, R. Casi coeficientes de la matriz L 2 J. Reine Angew. Matemáticas. 387 (1988), 97-110
- Harish-Chandra (1966), "Series discretas para grupos de Lie semisimplejos. II. Determinación explícita de los caracteres" , Acta Mathematica , 116 (1): 1–111, doi : 10.1007 / BF02392813 , ISSN 0001-5962 , MR 0219666
- Knapp, Anthony W .; Zuckerman, Gregg (1976), "Clasificación de representaciones templadas irreductibles de grupos de Lie semi-simples", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 73 (7): 2178-2180, doi : 10.1073 / pnas. 73.7.2178 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 65732 , MR 0460545 , PMC 430485 , PMID 16592331
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